具有超线性增长条件的拟线性椭圆型方程解的存在性
VIP免费
摘 要
本文是在加权 Sobolev 空间中, 讨论了几类具有超线性增长条件的拟线性
椭圆型方程解的存在性. 本文的方法主要基于 Galerkin 方法, Brouwer 定理以及加
权Sobolev 紧嵌入定理等. 本文共分为五章.
在第一章, 主要介绍了超线性增长条件的产生背景、拟线性椭圆型方程的来源
及目前的研究状况、本文主要解决的问题、采用的方法、结果以及实际意义.
在第二章, 给出了本文的基本假设和主要用到的定理及结论.
在第三章, 通过建立拟线性算子
M
与线性算子
L
之间 Near-相关关系, 构造关
于满足超线性增长条件的非线性项
(,)
fxu
的辅助函数, 对于算子
L
的第一特征值
1
λ
, 得到奇异拟线性椭圆型方程
1
1,,
[(,)], ,
(,)
pq
MuufxuGx
uH ρ
λρ
=+−∈Ω
∈ΩΓ
(
1
P
)
非平凡解的存在性, 其中
1111
2222 00
,1
[()()]
N
ijijiijj
ij
MuDppuubDubqu
σσσ
=
=−+
∑.
第四章中, 在建立拟线性算子 1
20
1
[(,,)]()
N
iii
i
QuDpAxuDuqBxu
=
=−+
∑与线性算
子
L
满足一种新型关系——※-相关的基础上，针对算子
L
的任意特征值
0
j
λ
，在非
线性项满足超线性增长条件下，研究问题
0
1,,
[(,)], ,
(,)
j
pq
QuufxuGx
uHρ
λρ
=+−∈Ω
∈ΩΓ
(
2
P
)
非平凡解的存在性.
在第五章中, 通过建立拟线性算子
M
与线性算子
L
的一种关系(N-Near 相关),
讨论了在
(,)
fxu
满足超线性增长条件时, 共振问题(
1
P
)解的存在性.
关键词: 加权 Sobolev 空间 超线性增长条件 拟线性椭圆型方程
共振问题 Galerkin 方法
ABSTRACT
In this paper, the existence of nontrivial solutions of three classes of quasilinear
elliptic equations with superlinear nonlinearties is discussed in some weighted Sobolev
spaces. The methods rely on Galerkin method, Brouwer's theorem and a new weighted
compact Sobolev-type embedding theorem. The paper consists of five chapters.
In chapter 1, we mainly introduce the background of superlinear growth conditions
and the current research status of quasilinear elliptic equations, and then presents the
main problems, the basic methods, and also the achievements and the significance
obtained in the paper.
In chapter 2, the basic assumptions and the main theories used in this paper are
given.
In chapter 3, we establish a Near-relationship between the quasilinear operator
M
and the linear operator
L
, and prove the existence of nontrivial solutions for the
singular quasilinear elliptic equation
1
1,,
[(,)], ,
(,)
pq
MuufxuGx
uH ρ
λρ
=+−∈Ω
∈ΩΓ
(
1
P
)
by establishing an auxiliary function for the superlinear nonlinearty
(,)
fxu
. Here
1111
2222 00
,1
[()()()()()],
N
ijijiijj
ij
MuDpxpxuubxDubqu
σσσ
=
=−+
∑
and
1
λ
is the first eigenvalue of the operator
L
. The equation can be singular because
of the possibility that
()
i
px
tends to zero on part or all of
∂Ω
, or
Ω
is unbounded.
Chapter 4 deals with the existence of a nontrivial solution for a class of singular
quasilinear elliptic equation
0
1,,
[(,)], ,
(,)
j
pq
QufxuGx
uHρ
λρ
=+−∈Ω
∈ΩΓ
(
2
P
)
with superlinear nonlinearties
(,)
fxu
, where
0
j
λ
is the
0
j
th eigenvalue of the
operator
L
and
()
1
20
1
[(,,)]().
N
iii
i
QuDpxAxuDuqBxu
=
=−+
∑
Here a new relationship named ※-relationship is established between the quasilinear
operator
Q
and the linear operator
L
.
In chapter 5, we establish a N-Near relationship between the quasilinear operator
M
and the linear operator
L
and discuss the the existence of a nontrivial solution for
(
1
P
). Here the nonlinearty
(,)
fxu
satisfies some superlinear resonance-type
conditions.
Key Words: Weighted Sobolev Spaces, Superlinear conditons,
Quasilinear elliptic equations, Resonance problem,
Galerkin method
目 录
中文摘要
ABSTRACT
第一章 绪论.............................................................................................................1
1.1 拟线性椭圆型方程的研究状况......................................................................1
1.2 现阶段主要研究成果.....................................................................................1
1.3 本文主要工作 ................................................................................................3
第二章 预备知识 .....................................................................................................5
2.1 知识回顾 ........................................................................................................5
2.2 基本假设 ........................................................................................................6
2.3 基本引理........................................................................................................9
第三章 具
M
算子和超线性增长的拟线性椭圆型方程的特征值问题 .................11
3.1 问题提出......................................................................................................11
3.2 补充假设与主要结果...................................................................................12
3.3 两个重要的引理...........................................................................................12
3.4 定理 3.2.1 的证明.........................................................................................16
第四章 具
Q
算子和超线性增长的拟线性椭圆型方程的特征值问题 ..................19
4.1 问题提出......................................................................................................19
4.2 补充假设与主要结果...................................................................................20
4.3 四个重要的引理...........................................................................................21
4.4 定理 4.2.1 的证明.........................................................................................25
4.5 ※-相关的一个例子.....................................................................................30
第五章 具
M
算子和超线性增长的拟线性椭圆型方程共振型问题 .....................32
5.1 问题提出......................................................................................................32
5.2 补充假设与主要结果...................................................................................33
5.3 定理 5.2.1 的证明.........................................................................................33
参考文献.................................................................................................................38
在读期间公开发表的论文和承担科研项目及取得成果........................................40
致 谢......................................................................................................................41
第一章 绪论
1
第一章 绪 论
1.1 拟线性椭圆型方程的研究状况
偏微分方程属于分析学的范畴, 是在微积分出现后不久即兴起的一门学科. 它
起源于 18 世纪 Euler、 d’Alembert、Bernoulli、 Lagrange 和Laplace 等的工作, 作
为描述连续力学的核心工具, 被用作分析物理学科中模型的主要方式. 到了 19 世
纪, 随着物理科学所研究的现象在广度和深度两个方面的扩展, 偏微分方程的理
论和应用也迅速发展并变为“数学的中心”, 促进了其他相关数学分支的发展. 例如,
Poincaré对极小曲面方程和 Monge-Ampére 方程以及它们几何意义的研究, 促进了
几何学的发展. Donaldson和Seiberg-Witten 在四维微分流形的拓扑学中的工作大部
分建立在偏微分方程理论的基础上. 除了几何学和拓扑学上的应用外, 偏微分方
程还与金融数学、概率理论与统计分析(Brown 运动、多粒子流体力学)以及动力系
统, 尤其是Hamilton 系统等数学的其他领域紧密相关.
椭圆型偏微分方程, 简称椭圆型方程, 是一类重要的偏微分方程. 早在1900 年,
希尔伯特提出的著名的23 个问题中, 就有三个问题是关于椭圆型方程与变分法的.
如果椭圆型方程关于未知函数的高阶微商, 例如
m
阶微商, 是线性的, 并且其系数
依赖于未知函数的低于
m
阶的微商, 则称它是
m
阶拟线性椭圆型方程. 本文主要
讨论二阶拟线性椭圆型方程.
1.2 现阶段主要研究成果
关于拟线性椭圆型方程解的存在性研究已有了很多方法, 如度理论, 极小极大
原理, Nehari 流形方法, 山路引理, 环绕定理等, 参见文[1-13]. 特别地, 在加权型
Sobolev 空间中, 当非线性项满足次线性或线性增长的条件下, 拟线性椭圆型方程
解的存在性问题已经得到了比较广泛的研究, 参见文[14-20].
如2005 年, Adolfo J. Rumbos 在文[13]中利用环绕定理及形变定理讨论了一类
加权奇异拟线性椭圆型方程
1
(,)(,), ,
0,
Luuaxuugxuhx
ux
λρρρ
−
=−++∈Ω
=∈∂Ω
的非平凡解的存在性, 这里
11
22
,1
[],
N
iijijj
ij
LuDppbDucu
ρ
=
=−+
∑
其中非线性项
(,)
gxu
满足线性增长条件: 对任意的
0
η
>
, 存在 2
()
bL
ηρ
∈Ω
且
0, ..
bae
η
≥Ω
, 使得
摘要：
展开>>
收起<<
摘要本文是在加权Sobolev空间中,讨论了几类具有超线性增长条件的拟线性椭圆型方程解的存在性.本文的方法主要基于Galerkin方法,Brouwer定理以及加权Sobolev紧嵌入定理等.本文共分为五章.在第一章,主要介绍了超线性增长条件的产生背景、拟线性椭圆型方程的来源及目前的研究状况、本文主要解决的问题、采用的方法、结果以及实际意义.在第二章,给出了本文的基本假设和主要用到的定理及结论.在第三章,通过建立拟线性算子M|12z{L}'Near-相关关系,构造关于满足超线性增长条件的非线性项(,)fxu7辅助函数,对于算子L7RS特征值1l,得到奇异拟线性椭圆型方程11,,[(,)],,(,...
相关推荐
-
建筑工程投标文件范本-(格式)VIP免费
2024-11-22 17 -
幕墙工程施工组织设计方案VIP免费
2025-01-09 6 -
建筑商品砼生产项目创业计划书VIP免费
2025-01-09 10 -
建筑工程商业计划书模板VIP免费
2025-01-09 8 -
工程项目施工计划书VIP免费
2025-01-09 6 -
《专业型文档》建筑企业计划书VIP免费
2025-01-09 8 -
xx水库灌区管道工程水工图纸C1VIP免费
2025-01-09 13 -
邮政区域仓储配送中心VIP免费
2025-01-09 8 -
疾病预防控制中心招标文件VIP免费
2025-01-09 14 -
体育健身中心施工招标文件VIP免费
2025-01-09 11
作者：牛悦
分类：高等教育资料
价格：15积分
属性：43 页
大小：379.39KB
格式：PDF
时间：2024-11-11
