基于分数布朗运动的股市长记忆特性研究
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摘 要
越来越多的实证研究发现，股票收益率序列具有长期相关性，并且在收益波
动率序列的研究中，也发现了类似的特征。这种相关性的一个体现就是收益率序
列的自相关函数呈现出一种缓慢地衰减模式，如以双曲线形式缓慢衰减，这种现
象被称之为长记忆性。
近年来，众多学者都以股票收益率序列满足分数布朗运动这一假设为前提来
研究股市的长记忆性，估计出收益率序列的 Hurst 指数。于是准确估计分数布朗
运动（FBM）模型的 Hurst 指数成为大家十分关心的问题，本文着重分析几种经典
算法的估计精度，并且用仿真实验说明了各种估计算法的优劣；在此基础上，为
更好地估计分数布朗运动参数（Hurst 指数），本文分别对 MMLE 算法和 Lance 算
法进行改进，并且用仿真实验说明了改进算法的估计精度。
FBM 模型中的 Hurst 指数是一常数，以 FBM 模型来研究股市长记忆特性就是
认为某一时间段的股票收益率序列具有固定的长记忆性，那么这样的假设是否合
理？为此本文进一步考虑多重分数布朗运动（MBM）模型（MBM 模型可以说成
是广义的 FBM 模型，模型中的 Hurst 指数是时变的。），以股票收益率序列满足
MBM 模型为假设前提来研究股票收益率序列的长记忆特性。
本文综合分数布朗运动模型和多重分数布朗运动模型来研究上证综合指数的
收益率序列，发现此序列具有 Hurst 指数时变特征，只有在少数时段才具有长记忆
特性，而大部分时段的 Hurst 指数都小于 0.5，市场主要表现为反持久的时间序列，
变化具有负相关性。
关键词：分数布朗运动 长记忆性 多重分数布朗运动 Hurst 指数
ABSTRACT
A growing number of empirical studies find that stock returns sequences have
characteristics of Long-term relevance,and the study of earnings volatility sequence also
finds the similar characteristics.This correlation is a manifestation of yield sequence
auto-correlation function showing a slow rate model, such as to form a slow hyperbolic
rate, a phenomenon is known as long memory.
In recent years, many scholars study the stock market's long memory according to
stock returns fractional Brownian motion sequence satisfing the premise of this
assumption to estimate the yield of the Hurst index sequence. we are very concerned
about the issue of accurate estimation of fractional Brownian motion of Hurst index
model.This article focuses on the estimated accuracy of the several classical algorithms,
and uses simulation experiments to illustrate the merits and demerits of the various
estimation algorithms; On this basis, in order to better estimate the parameters of
fractional Brownian motion (Hurst index), algorithms and MMLE of this paper
respectively Lance amendments of Wornell and others modified algorithm, and
simulation experiments with modified algorithm.
FBM model Hurst index is one constant to FBM model. The long memory
characteristic of the stock market is a time sequence of stock returns with fixed
long-memory, whether the assumption is reasonable or not? This paper gives further
consideration to the multiple fractional Brownian motion (MBM) model (MBM model
can be generalized as the FBM model, and its Hurst index istime-varying.), In order to
meet the sequence of stock returns based on the assumption MBM model, we study
sequence of stock returns and long-memory characteristics.
In this paper, we use fractional Brownian motion model and the multi-fractional
Brownian motion model to study the Shanghai Composite Index yield sequence, we
find the yield sequence Hurst index is not a constant, only in a few hours with a long
memory characteristics, and most of time The Hurst index is less than 0.5, the market
mainly displays the anti-persistent time series, change of negative correlation.
Key Word: fractional Brownian motion, Long memory characteristics,
multi-fractional Brownian motion, Hurst index
目 录
摘要
ABSTRACT
第一章 绪论............................................................................................................................................ 1
§1.1 课题背景介绍.....................................................................................................................1
§1.2 国内外研究现状................................................................................................................ 2
§1.3 本文主要研究内容........................................................................................................... 5
第二章 长记忆过程.............................................................................................................................. 7
§2.1 长记忆过程描述................................................................................................................ 7
§2.2 长记忆过程定义................................................................................................................ 8
§2.3 长记忆过程一般模型.......................................................................................................9
§2.4 连续时间的 FBM.............................................................................................................. 9
§2.5 连续分数高斯噪声......................................................................................................... 12
§2.6 离散时间的 FBM 和FGN............................................................................................14
第三章 分数布朗运动 HURST 指数估计 .................................................................................17
§3.1 分数布朗运动的小波变换...........................................................................................17
§3.2 离散分数高斯噪声
DFGN
及其小波变换..........................................................18
§3.3 离散分数布朗运动和分数高斯噪声的生成方法................................................20
§3.4 分数布朗运动的估计算法...........................................................................................22
§3.4.1 标准对数周期图法...................................................................................................22
§3.4.2 修正对数周期图法...................................................................................................22
§3.4.3 简单小波分析方法...................................................................................................23
§3.4.4 极大似然估计法（MLE）....................................................................................24
§3.4.5 Wornell 算法 .............................................................................................................. 25
§3.4.6 Lance 等人修改的 Wornell 算法（LANCE 算法）.....................................28
§3.4.7 R/S 分析方法..............................................................................................................28
§3.4.8 多尺度极大似然估计(MMLE)........................................................................... 29
第四章 修正算法及比较.................................................................................................................. 31
§4.1 几种估计算法的精度比较（R/S 算法、LANCE 算法、MMLE 算法）..31
§4.1.1 分数布朗运动的生成.......................................................................................... 31
§4.1.2 R/S 算法....................................................................................................................31
§4.1.3 LANCE 算法...........................................................................................................32
§4.1.4 MMLE 算法............................................................................................................ 33
§4.1.4 仿真结果与分析.................................................................................................... 33
§4.2 多尺度极大似然估计(MMLE)的修正算法（算法一）................................. 34
§4.2.1 算法描述...................................................................................................................... 34
§4.2.1 仿真实验...................................................................................................................... 36
§4.3 LANCE 算法的修正算法（算法二）.....................................................................37
§4.3.1 算法描述...................................................................................................................... 37
§4.2.1 仿真结果与分析........................................................................................................39
第五章 实证分析 .................................................................................................................................41
§5.1多重分数布朗运动模型及估计算法.......................................................................... 41
§5.2仿真结果与分析.................................................................................................................41
§5.3上证综合指数收益率序列研究....................................................................................44
结论与展望.............................................................................................................................................49
参考文献..................................................................................................................................................51
附录：MATLAB 程序.......................................................................................................................55
在读期间公开发表的论文和承担科研项目及取得成果...................................................... 67
致 谢...................................................................................................................................................... 69
第一章 绪论
1
第一章 绪论
§1.1 课题背景介绍
改革开放以来，伴随着市场机制的不断完善，中国经济持续快速增长和人民
生活水平的不断提高，中国资本市场尤其是股票市场取得了长足的发展。中国股
市06 年取得历史性恢复以后继续上涨，并最终创造出阔别多年的牛市行情。07 年，
市场预期继续看好，大盘指数继续走高，曾突破 6000 点大关。然而，08 年大盘指
数震荡加剧，整体持续下跌行情。“股市有风险，入市需谨慎”这句忠告再一次让
大家如此刻骨铭心。
投资者都希望在金融市场上找到一定的规律以谋取利润，特别是利用了许多
定量分析工具试图从历史数据中发现可以预见的将来事件，统计方法就是其中应
用最广泛的方法。就股票市场而言，是否存在规律一直是争论的热点问题，也是
投资者最关心的问题，因为如果股票市场是可有规律的，那么投资者就可以以最
小的风险获得最大收益。
有效市场假说(Efficient Markets Hypothesis，EMH)是现代金融理论的基石，著
名的资本资产定价模型（CAPM）和套利定价理论(APT)都是以这一理论为前提。
有效市场假说认为，资产价格应该遵循一个鞅模式，它包含两层含义：一为条件
于历史的价格信息，资产价格变化的期望是零；二是资产各期的价格变化之间是
不相关的。
自从 EMH 被正式提出后，几十年来围绕 EMH 的争论从来就没有停止。尽管
许多实证研究对 EMH 做出了肯定，但同时也有相当一部分结果对 EMH 提出了质
疑。大量的实证结果表明，金融资产的收益曲线呈现尖峰厚尾，并不服从正态分
布，所谓厚尾就是指极端值比正态分布出现得多且更频繁。Engle(1982)[1]的自回归
条件异方差模型(ARCH)看到了易变性是以其过去的水平为条件的，高易变性水平
后面跟随的是更高的易变性，而低易变性水平后面跟随的是更低的易变性，价格
变化的大小似乎是相关的。并且，有效市场假说也无法解释诸如小公司效应、1月
份效应、股市泡沫、封闭式基金折扣等市场现象。
伴随着分形理论的发展，许多学者试图用之解释资本市场的结构特性。
Peters(1991)[2]最早提出了分形市场这一概念，他指出分数布朗运动可以更加准确地
刻画金融市场的波动。金融时间序列是否具有长记忆性是现代金融理论研究的一
基于分数布朗运动的股市长记忆特性研究
2
个热点问题。金融时间序列的长记忆性是指时间序列中相距较远的时间间隔具有
显著的自相关性，意味着历史事件会持续影响未来，用过去的数值可以预测将来
的数值，这与“有效市场假说”相悖。如果金融时间序列存在长记忆性，那么基
于“有效市场假说”的资本资产定价模型、套利定价理论以及期权定价理论将受
到严重挑战。
Ding(1996)[3]]对1928．01-1990．08 间s＆P500 的17，054 个日收益数据进行
分析，发现其中存在长记忆特性，异于 EMH 收益不相关的假设。
Sun(2007)[4]通过对德国股票市场的高频率数据进行分析，发现德国股票市场
存在三种特性：长期依赖性，厚尾性和波动聚集性。郑维敏(1998)[5]列出了美国市
场25 支股票，14 种股指和 7种债券的 Hurst 指数，所有值都大于 0.5，且大部分
接近 0.6，说明了资本市场分形特性的广泛存在。结果表明，中国股票市场股票收
益构成的时间序列呈现尖峰、厚尾，具有稳态特征，对于具有状态持续特性的时
间序列来说，传统的 CAPM、APT 等模型将不再适用。
越来越多的实证研究发现，股票收益率序列的各个观测值之间并非不相关，
相反，在相隔较远的两个观测值之间仍会表现出某种相关性；并且在收益波动率
序列的研究中，也发现了类似的特征。这种相关性的一个体现就是收益率序列的
自相关函数呈现出一种缓慢地衰减模式，如以双曲线形式缓慢衰减，这种现象被
称之为长记忆性。如果一个收益序列具有长记忆性，则说明该序列的观测值之间
是不独立的，用过去的收益率值可以预测将来的收益率值。
分数布朗运动是刻画长记忆的典型模型，近年来，准确估计分数布朗运动
（FBM）模型的 Hurst 指数成为大家十分关心的问题，本文着重分析几种经典算法
的估计精度，用仿真实验说明了各种估计方法的优劣，并提出自己的修改算法。
§1.2 国内外研究现状
在20 世纪 50 年代，统计学家在物理学、水文学等领域的数据分析中发现了
时间序列的长记忆性。Hurst(1951)在对水文数据的研究中发现了时间序列所具有的
长记忆性特点，第一次提出了时间序列长记忆性的问题。在多年的水文数据中，
他发现数据不服从布朗运动及正态分布的特性。而且如果有一年水量较大，次年
的水量也往往较大。在布朗运动中，数据的方差与观察时间间隔
t
成正比。Hurst
却发现河流数据的方差与
2t H
成正比，其中，H后来称为 Hurst 指数。对特殊
情形 H = 0. 5 时，就是布朗运动，但一般情形 H并不等于 0. 5。此后，Hurst 发现
一大类自然现象随时间演化的行为都不能用布朗运动刻化，即 2H 都不是整数，因
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摘要越来越多的实证研究发现，股票收益率序列具有长期相关性，并且在收益波动率序列的研究中，也发现了类似的特征。这种相关性的一个体现就是收益率序列的自相关函数呈现出一种缓慢地衰减模式，如以双曲线形式缓慢衰减，这种现象被称之为长记忆性。近年来，众多学者都以股票收益率序列满足分数布朗运动这一假设为前提来研究股市的长记忆性，估计出收益率序列的Hurst指数。于是准确估计分数布朗运动（FBM）模型的Hurst指数成为大家十分关心的问题，本文着重分析几种经典算法的估计精度，并且用仿真实验说明了各种估计算法的优劣；在此基础上，为更好地估计分数布朗运动参数（Hurst指数），本文分别对MMLE算法和Lance算...
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