基于复杂网络理论的时间序列分析
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摘 要
复杂网络理论是近年来发展起来的统计物理的一个重要分支。它以合理抽象
描述一个复杂系统的内部关系见长。随着复杂网络基本理论的发展，它的应用也
是日益增多。而利用复杂网络基本理论分析时间序列的方法是近几年刚发展起来
的一个方向。
利用复杂网络来分析时间序列，其根本思想是试图通过研究由时间序列所构
成的复杂网络，来揭示保留在网络上的序列间或者序列内的性质。它可以分为两
个方面：一是研究多个序列构成的网络，可以揭示不同序列间的整体性质。本文
通过研究中国 34 个主要城市的 10 年气温数据结合灾害数据，提出了一个新的策
略来将其构建成一个区域相关复杂网络，进而将所建立的网络划分为 4个模块，
分别对应于不同的自然灾害发生特征，这种划分可能会对建立区域灾害应对方案
提供参考。另一个方面是研究单个序列构成的网络，可以揭示藏于序列内部的动
力学机制，提取到一些新的特征。这方面目前有代表性的工作是 Lacasa.Lucas 等
在2008 年提出的可见图算法将序列映射成网络。本文在理论上对 Lacasa.Lucas
等提出的利用可见图估算分数布朗运动序列 Hurst 指数的工作进行了扩展，考查
具有两个 Hurst 指数的混合序列的可见图特征，发现在混合序列中，只要达到一
定强度，Hurst 指数较小的序列成分在网络性质中占据主导地位，并且这一结论
可以推广到含有多个 Hurst 指数的混合分数布朗运动序列中去。
为了验证可见图算法的有效性和发现一些非平凡的性质，本文将其应用到实
际序列——6个重要的汇率序列中去，发现它们可以转换为具有无标度性质和层
次结构的网络。其中度分布指数和休斯特（Hurst）指数符合分数布朗运动的解
析预测，并且这些现象可以从时间序列的多重分形性质得到比较合理的解释。我
们知道欧元和日元的汇率被广泛用来评估风险和估计风险投资中的趋势。有趣的
是，这两种汇率序列的可见图网络的层次性比其它汇率序列的要弱得多。
关键词：复杂网络 时间序列分析 气温序列 分数布朗运动 汇率序
列 度分布标度指数 Hurst 指数 层次结构
ABSTRACT
Complex networks theory which is developing since just a few years ago is a
new branch of statistics physics. It is good at capturing intrinsic relationships in
complex systems. It's range of applications getting wider during developing. And
complex network-based time series analysis is more recently.
Time series analysis by using complex network theory, the basic consideration is
to uncover nontrivial properties of the constructed networks induced by a single series
or many series. It can be separated to two branches: firstly, Investigate the network
constructed by many series to reveal the global properties between the series. In the
present thesis, we study the air temperature records of 34 cities in China during 10 ten
years, combining the disaster cases, a new strategy is proposed to generate a area
correlation network. Furthermore, the network can be split into four modules, which
corresponding to different disaster occurring characteristics. And this may be helpful
in compilations of accident emergency program of anti-disasters.
Secondly, we can observe some dynamics mechanics and found new properties
embedding in a series, by study the series-induced network. So far, the representative
work is done by Lacasa.Lucas etc, who presented a new scheme called visibility
approach in 2008 to map a series to network. In this thesis, we make a extension to
theirs work on analyzing fBm series by using the method. We investigate time series
containing two components, the lower value of Hurst exponent dominates the
properties such as the degree distribution. Even a weak mixture of lower Hurst
exponent may induce a dominant contribution to the properties of the visibility graphs.
And the conclusion can be extended to multi-components fBm mixture series.
To prove the reliability of visibility algorithm, we consider six important
exchange rate series. It is found that the series convert into scale-free and
hierarchically structured networks. The relationship between the scaling exponents of
the degree distributions and the Hurst exponents obeys the analytical prediction for
fractal Brownian motions. The visibility graph can be used to obtain reliable values of
Hurst exponents of the series. The characteristics are explained by using the
multifractal structures of the series. The exchange rate of EURO to Japanese Yen is
widely used to evaluate risk and to estimate trends in speculative investments.
Interestingly, the hierarchies of the visibility graphs for the exchange rate series of
these two currencies are significantly weak compared with that of the other series.
Key Word: complex networks, time series analysis, air temperature
data, fractional Brownian motion, exchange rate series, scaling
exponent of degree distribution, Hurst exponent, Hierarchy structure
目 录
中文摘要
ABSTRACT
第一章 绪论 ........................................................ 1
§1.1 课题背景介绍 ..............................................1
§1.2 国内外研究现状 ............................................ 2
§1.3 本文主要研究内容 ..........................................3
第二章 复杂网络理论与时间序列分析 .................................. 5
§2.1 复杂网络理论 ..............................................5
§2.1.1 复杂网络的结构参量 .................................. 5
§2.1.2 复杂网络的基本模型 .................................. 6
§2.2 时间序列分析 ..............................................7
§2.2.1 分数布朗运动及 Hurst 指数 ............................ 7
§2.2.2 小波配分函数分析时间序列的多重分形特性 .............. 8
§2.3 利用复杂网络分析时间序列 ................................. 10
第三章 城市气温序列的复杂网络分析 ................................ 11
§3.1 研究背景 .................................................11
§3.2 数据及方法 ...............................................12
§3.2.1 城市气温数据 ....................................... 12
§3.2.2 去趋势气温序列 ..................................... 12
§3.2.3 距离矩阵 ........................................... 13
§3.3 最小生成树(Minimum Spanning Tree,MST) .................... 14
§3.4 生成网络 ................................................. 14
§3.5 结果和讨论 ...............................................17
第四章 具有不同 Hurst 指数的分数布朗运动的可见图研究 ............... 19
§4.1 可见图算法 ...............................................19
§4.2 利用可见图算法估算分数布朗运动的休斯特指数 ...............21
§4.2.1 最大似然估计计算网络的度分布标度指数 ............... 22
§4.2.2 分数布朗运动可见图的度分布标度指数 ................. 23
§4.3 含多个指数的 fBm 序列的可见图分析 .........................24
§4.3.1 研究背景介绍 ....................................... 24
§4.3.2 首次返回时间分布和粗糙度的计算方法 ................. 25
§4.3.3 含多个 Hurst 指数的混合 fBm 序列 ..................... 25
§4.3.4 计算结果 ........................................... 27
§4.4 本章小结 ................................................. 29
第五章 汇率序列的可见图分析 ....................................... 31
§5.1 研究背景介绍 ............................................. 31
§5.2 采用的方法及汇率序列 .....................................31
§5.3 计算结果 ................................................. 32
§5.4 本章小结 .................................................35
第六章 总结与展望 ................................................. 37
§6.1 总结 .....................................................37
§6.2 本文未解决的问题以及后续的研究方向 .......................37
参考文献 .......................................................... 39
在读期间公开发表的论文和承担科研项目及取得成果 .................... 43
致 谢 ............................................................ 45
摘要：
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摘要复杂网络理论是近年来发展起来的统计物理的一个重要分支。它以合理抽象描述一个复杂系统的内部关系见长。随着复杂网络基本理论的发展，它的应用也是日益增多。而利用复杂网络基本理论分析时间序列的方法是近几年刚发展起来的一个方向。利用复杂网络来分析时间序列，其根本思想是试图通过研究由时间序列所构成的复杂网络，来揭示保留在网络上的序列间或者序列内的性质。它可以分为两个方面：一是研究多个序列构成的网络，可以揭示不同序列间的整体性质。本文通过研究中国34个主要城市的10年气温数据结合灾害数据，提出了一个新的策略来将其构建成一个区域相关复杂网络，进而将所建立的网络划分为4个模块，分别对应于不同的自然灾害发生特...
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