两类非线性波动方程有界行波解的定性分析与求解

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3.0 牛悦 2024-11-19 4 4 1.02MB 66 页 15积分

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摘要

本文研究以下两类非线性波动方程

1 3 0

tt xx t

u u u a u a u

 

    

(I)

3 5

1 3 5 0

tt xx t

u u u a u a u a u

 

     

(II)

有界行波解的存在性、性态和求解问题.

首先, 我们利用平面动力系统理论将方程(I)和(II)有界行波解的研究分别转化

为与其相对应的两个平面动力系统的研究，并对这两个平面动力系统作了详细的

定性分析.根据定性分析结果,分别给出了方程(I)和(II)系数满足不同条件下的全局

相图,以及方程(I)和(II)的所有有界行波解存在的条件.我们分别讨论了随着方程(I)

和(II)中耗散系数



的变化，方程(I)和(II)有界行波解性态的变化.我们给出了表征

耗散作用大小的临界值或取值区间,同时指出了耗散系数在什么范围变化时,方程

(I)和(II)会出现钟状孤波解、扭状孤波解或衰减振荡解.进一步,我们利用假设待定

法,求出了方程(I)和(II)在不同条件下钟状孤波解和扭状孤波解的精确表达式.对于

衰减振荡解,由于其结构复杂,不容易求出其精确表达式.然而,文中我们根据衰减

振荡解对应的解轨线在相图中的演化关系,并利用定性分析的有关结果和假设待

定法,分别求出了方程(I)和(II)的衰减振荡解的近似表达式.最后,我们根据齐次化

原理的思想建立了反映衰减振荡解近似解和相应精确解间关系的积分方程,得到

了方程(I)和(II)衰减振荡解的近似解与真解间的误差估计.从误差估计的表达式可

以看出,用本文方法求出的方程(I)和(II)的衰减振荡解的近似解与相应的精确解的

误差是以指数形式速降的无穷小量.

关键词: 平面动力系统有界行波解钟状孤波解扭状孤波解衰减振

荡解近似解误差估计

ABSTRACT

In this paper, we study the existence, behavior and solution of the bounded travelling

wave solutions of the following two nonlinear wave equations

1 3 0

tt xx t

u u u a u a u

 

    

(I)

3 5

1 3 5 0

tt xx t

u u u a u a u a u

 

     

(II)

Firstly, we employ the theory of planar dynamical systems to convert the equations

which the bounded travelling wave solutions of equation (I) and (II) correspond to, and

then make comprehensive qualitative analysis to these two planar dynamical systems.

According to the results of the qualitative analysis, we show all global phase portraits in

the different conditions which the coefficients of equation (I) and (II) satisfy, and find

the existent conditions of all the bounded travelling wave solutions. We discuss how the

behavior of the bounded travelling wave solutions of equation (I) and (II) changes,

respectively, when the dissipation coefficient



varies. The critical values or intervals

which can be characterized the dissipation effect are represented, and the dissipation

coefficient’s range are pointed out when the bell profile solitary wave solutions, kink

profile solitary solutions, or damped oscillatory solutions appear. Furthermore, the exact

expressions of bell profile solitary wave solutions and kink profile solitary solutions in

various conditions are obtained by using undetermined coefficients method. For damped

oscillatory solutions, it is too hard to find out their exact expressions because of their

complex structure. However, in this paper, according to the evolution relations of orbits

in the global phase portraits, and by the qualitative analysis results and undetermined

coefficients method, we obtain the approximate expressions of damped oscillatory

solutions. Finally, we establish the integral equation reflecting the relations between

exact damped oscillatory solution and approximate solution by the idea of

homogenization principle. Moreover, we give the error estimate for these approximate

solutions. From the expression of error estimate, we can see the error we obtain by the

method in this paper is infinitesimal decreasing in the exponential form.

Key Word: planar dynamical systems, bounded travelling wave

solution, bell profile solitary wave solution, kink solitary wave solution,

damped oscillatory solution, approximate solution, error estimate

中文摘要

ABSTRACT

第一章绪论..............................................................................................................1

§1.1 孤立波的研究近况....................................................................................1

§1.2 本文问题来源和研究内容........................................................................2

§1.2.1 方程(I)的研究状况...........................................................................2

§1.2.2 方程(II)的研究状况.........................................................................3

§1.2.3 本文的研究内容.................................................................................3

§1.3 本文的创新点.............................................................................................4

第二章方程(I)的定性分析与求解........................................................................6

§2.1 方程(I)的定性分析..................................................................................6

§2.1.1 系统(2.1.4)有限远奇点的类型......................................................7

§2.1.2 系统(2.1.4)无限远奇点的类型......................................................7

§2.1.3 讨论系统(2.1.4)极限环与奇异闭轨线的不存在性......................8

§2.1.4 全局相图............................................................................................8

§2.2 方程(I)有界行波解的性态与耗散系数



之间的关系....................... 10

§2.2.1 方程(I)有界行波解的性态与耗散系数



间的关系.................... 10

§2.2.2 方程(I)振荡行波解的衰减性.........................................................13

§2.3 方程(I)的有界行波解............................................................................14

§2.3.1





时方程(I)的钟状和扭状孤波解......................................... 14

§2.3.2





时方程(I)的扭状孤波解......................................................15

§2.3.3 方程(I)衰减振荡解的近似解........................................................15

§2.3.4 方程(I)衰减振荡近似解的误差估计............................................18

第三章方程(II)的定性分析与求解....................................................................21

§3.1 方程(II)的定性分析..............................................................................21

§3.1.1 系统(3.1.2)有限远奇点的类型.....................................................22

§3.1.2 系统(3.1.2)无限远奇点的类型.....................................................25

§3.1.3 讨论系统(3.1.2)极限环与奇异闭轨线的不存在性....................26

§3.1.4 全局相图...........................................................................................26

§3.2 方程(II)有界行波解的性态与耗散系数



之间的关系..................... 35

§3.2.1 方程(II)有界行波解的性态与耗散系数



之间的关系............... 35

§3.2.2 方程(II)振荡行波解的衰减性......................................................47

§3.3 方程(II)的有界行波解..........................................................................49

§3.3.1 方程(II)的钟状孤波解..................................................................49

§3.3.2 方程(II)的扭状孤波解..................................................................50

§3.3.3 方程(II)衰减振荡解的近似解......................................................52

§3.4 方程(II)衰减振荡近似解的误差估计..................................................55

参考文献..................................................................................................................58

在读期间公开发表的论文和承担科研项目及取得成果......................................63

致谢..........................................................................................................................64

第一章绪论

本章简要叙述孤立波的研究近况、问题来源，着重介绍现阶段对两类非线性

波动方程的研究情况、以及本文主要内容和创新点.

§1.1 孤立波研究近况

广义上，称非线性发展方程局部化的行波解为孤立波,这里的局部化指的是非

线性发展方程的解在空间的无穷远处趋于零或趋于确定常数的情况[1-3].而在狭义

上，孤立波指的是非线性发展方程的具有两个特殊性质的行波解[4,5].在物理上所指

的是以下两层意思:(1) 能量比较集中于一个较狭小的区域;(2) 两个孤立波相互作

用时出现弹性散射现象,即两个孤立波相互碰撞后波形和波速能迅速恢复原状.近

年来,人们把满足以上两个性质的孤立波称为孤立子.

从孤立波的发现到现在，人们对孤波理论的研究取得了很大的发展人们已经

发现在许多学科领域,如等离子体物理、流体力学、经典场论、非线性光学和量子

场论等等,都包含着和孤立波理论密切相关的重要问题.由于其重要应用价值,求

解非线性发展方程的各种解析法和数值解法相继被发现和发展,如 Hirota 双线性法

[6-9]、逆散射方法[10-14]、Darboux 变换法[15-18]、Bäclund 变换法[19-23]、双曲正切函数

展开法[24-27]、齐次平衡法[28-31]、辅助方程法[32-35]和假设待定法[36-38]等.但是,孤波理

论有很多问题仍待解决,如耗散对孤波的影响、孤波的稳定性及应用,还有就是参

数变化条件下行波波形的演变问题等,以上所列问题都是我们今后需要继续研究

的方向.

近些年来,平面动力系统的理论和方法[39-41]被国内外学者应用于非线性发展

方程有界行波解的研究.这一应用,有其明显的好处.学者们发现,将非线性发展方

程行波解满足的方程化为与之等价的平面动力系统后,由于该等价平面动力系统

的所有轨线决定了相应非线性发展方程的所有行波解.特别地,该等价平面动力系

统的异宿轨则可能对应于相应非线性发展方程的振荡行波解或扭状孤波解,该等

价平面动力系统的闭轨和同宿轨分别对应于相应非线性发展方程的周期行波解和

钟状孤波解,这就使得对方程行波解的研究更具有全局性.

利用平面动力系统理论研究非线性发展方程有界行波解的国内外学者有

Bona、Schonbek、Johnson、管克英、高歌、刘式达、刘式适、李继彬、刘正荣、

张卫国等.如管克英和高歌[42]利用平面动力系统的理论和方法研究了 Burgers-KdV

混合型方程，证明了该方程在一定条件下存在有界非平凡行波解.李继彬[43-45]等利

两类非线性波动方程有界行波解的定性分析与求解

用平面动力系统理论研究了许多保守系统，即没有耗散项的非线性发展方程，如

一类耦合非线性波方程、Pochhammer–Chree 方程、Boussinesq 方程等.他们不仅得

到了这些方程存在孤波解和周期行波解的充分条件，而且给出了这些解的显式精

确表达式.借助平面动力系统理论，张卫国[46,47]对几类方程的行波解的性质进行了

研究，并得到了其中的几类行波解.

然而,到目前为止,人们仅利用平面动力系统的理论与方法研究了保守系统或

具低阶非线性项的耗散系统.对既有高阶非线性项又有耗散影响的非线性系统,

我们可见到的关于这方面研究的论文还很少.

§1.2 本文问题来源和研究内容

§1.2.1 方程(I)的研究状况

方程(I)是大家熟知的非线性电报方程[48].电报方程[49]是人们在寻找电流在金

属导体中流动时发现的数学模型.电报，就是用电信号传递的文字信息.它利用

电流(有线)或电磁波(无线)作载体，通过编码和相应的电处理技术实现人类

远距离传输与交换信息的通信方式.

当





时,方程(I)可化为

1 3 0

tt xx

u u a u a u



   

.(1.2.1)

此时系统为保守系统,张卫国，王明亮，尚亚东等分别在文献[46,50,51]中用假设待

定法和齐次平衡法求出了其精确解.

由于在实际应用中耗散是不可避免的，因而研究





的情况十分必要.方程(I)

同时也包含物理学上很多著名的方程,如Sin-Gordon方程和Sinh-Gordon方程的近

似方程,



方程,Klein-Gordon方程,Laudau-Ginzburg-Higgs方程,Duffing方程.很

多学者研究了非线性电报方程的边值问题.如文献[52]运用椭圆正规化的方法研究

了非线性电报方程的时间周期解的存在性;Ody M.S.[53]等将经典的李对称方法运

用到离散的非线性电报方程中,并将得到的对称结果与连续的情况下进行对比,从

而使得相应的离散的非线性电报方程得到解决.部分学者对方程(I)的行波解作了

研究.从已有文献可知,方程(I)存在钟状孤波解和扭状孤波解,如张卫国等在文献

[46,54]中，利用待定系数法求出了其钟状和扭状孤波解；范恩贵，张鸿庆[55]等利

用齐次平衡法求出了其孤立波解；尚亚东在文献[51]中，利用结合假设法求出了其

部分显式精确解.然而,我们没有发现对方程(I)的行波解对应的平面动力系统做详

细定性分析的文献，也没有发现关于耗散作用对方程(I)解的性态影响，以及由此

产生的衰减振荡解研究的文献.

第一章绪论

§1.2.2 方程(II)的研究状况

当





时,方程(II)可化为

3 5

1 3 5 0

tt xx

u u a u a u a u



    

.(1.2.2)

注意到此时方程(1.2.2)与Sin-Gordon 方程

sin 0

tt xx

u u u



  

(1.2.3)

与Sinh-Gordon方程

sinh 0

tt xx

u u u



  

(1.2.4)

之间有这样的关系.即

sin u

和

sinh u

的泰勒展开式是关于

的奇数次方的多项式,因

而方程(1.2.2)可以看做是方程(1.2.3)和方程(1.2.4)的近似方程.由于方程(1.2.3)和方

程(1.2.4)在求解方面的复杂性,我们就设想是否可以利用研究方程(1.2.2)去研究方

程(1.2.3)和方程(1.2.4)，答案是肯定的.

当





时,方程(II)中出现了耗散项,这也是我们在应用中不可避免的.由上面

的讨论,此时我们可以把方程(II)看作是带有阻尼作用的方程(1.2.3)和方程(1.2.4)的

近似方程.上述方程在力学和粒子物理中有着重要的应用,因而,对方程(II)的研究

将很有意义.

梁宗旗[56]研究了一类广义 Sin-Gordon 方程的周期初值问题,其中包括带扰动

项的 Sin-Gordon 方程

sin

xx tt t xxt

u u u u u

  

    

,(1.2.5)

其中



表示耗散系数 ,



是阻尼系数 ,



是驱动项;具有耗散和强迫振动的

Sin-Gordon 方程

sin sin

tt xx t

u r wt

  

   

,(1.2.6)

当



很小时,(1.2.6)的孤子解是存在的,但其速度是变化的,孤立子靠近平衡态是

振动的, 当



较大时出现混沌现象；和具有粘性项的非线性波动方程

( ) ( )

xx tt xxt

u u u q u f x



   

,(1.2.7)

方程(1.2.7)描述了均质梁的纵向运动,

( , )u x t

表示在

时刻梁的横断面的位移,并运

用Galerkin 方法,证明了其整体解的存在性和唯一性.张卫国[57]等曾利用假设待定

法,在

0 

的情况下求出了方程(1.2.2)的具有双曲正割函数分式形式且渐近值不为

零的精确孤波解和余弦函数周期波解,并分别讨论了它们的有界性, 揭示了行波

波速改变对钟状孤波解与余弦函数周期波解波形变化的影响.故本文将着重研究

0 

即有耗散作用时，方程(II)有界行波解的性态及求解问题.

§1.2.3 本文的研究内容

我们首先对方程作行波变换,并通过适当的积分变换,分别将非线性波动方程

(I)和(II)的行波解满足的方程化为与之等价的平面动力系统,并利用平面动力系统

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摘要：

摘要本文研究以下两类非线性波动方程3130ttxxtuuuauau(I)351350ttxxtuuuauauau(II)有界行波解的存在性、性态和求解问题.首先,我们利用平面动力系统理论将方程(I)和(II)有界行波解的研究分别转化为与其相对应的两个平面动力系统的研究，并对这两个平面动力系统作了详细的定性分析.根据定性分析结果,分别给出了方程(I)和(II)系数满足不同条件下的全局相图,以及方程(I)和(II)的所有有界行波解存在的条件.我们分别讨论了随着方程(I)和(II)中耗散系数的变化，方程(I)和(II)有界行波解性态的变化.我们给出了表征耗散作用大小的...

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