专练09（三角函数与解三角形大题）（30题）2021高考数学考点必杀500题（上海专用）（解析版）
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2021 高考考点必杀 500 题
专练 09（三角函数与解三角形大题）（30 道）
1．（2021·上海黄浦区·高三一模）在 中，内角 所对的边分别为 ，若 为钝角，且
.
（1）求角 的大小；
（2）记 ，求函数 的值域.
【答案】（1） ；（2）.
【分析】
（1）根据正弦定理对等式 边角互化，可得 ，再由 为钝角，即可求得角
的值；（2）由三角形内角和定理可得 的范围，化简函数 ，利用整体法求解
三角函数的值域.
【详解】
（1） 的内角 所对的边分别为 ， ，
∴根据正弦定理： ，
可化为 .
∴， 为钝角， .
（2） ， ，
，得 .
.
又因为 ，可得 .
由函数 的图像，可知 ，即 .因此，
.
所以函数 的值域是 .
【点睛】
关于三角函数解析式的化简问题，首先需要利用和差公式或者诱导公式展开化为同角，其次利用降幂公式
进行降次，最后利用辅助角公式进行合一变换，最终得到 的形式.
2．（2021·上海静安区·高三一模）如图所示，在河对岸有两座垂直于地面的高塔 和 .张明在只有量
角器(可以测量从测量人出发的两条射线的夹角)和直尺(可测量步行可抵达的两点之间的直线距离)的条件下，
为了计算塔 的高度，他在点 A测得点 的仰角为 ， ，又选择了相距 100 米的 点，
测得 .
（1）请你根据张明的测量数据求出塔 高度；
（2）在完成（1）的任务后，张明测得 ，并且又选择性地测量了两个角的大小(设为 ､).
据此，他计算出了两塔顶之间的距离 .
请问：①张明又测量了哪两个角？(写出一种测量方案即可)
②他是如何用 表示出 的？(写出过程和结论)
【答案】（1） 米；（2）答案见解析.
【分析】
（1）由已知利用三角形内角和定理可求得 的值，由正弦定理可求 的值，进而可求得 的值；
（2）由（1）知，可求出 的值，①测得 ， ；②利用线面垂直的判定定理可得
，可求出 ，在 中，由余弦定理，可求 .
【详解】
解：（1）在 中， ，
由正弦定理，有 ，
所以， 米.
米.
（2）由（1）知 米.
①测得 ， .
②由已知， ， ， .
所以， 平面 ，得 .
所以， .
在 中，由余弦定理，
米.
【点睛】
解三角形应用题的一般步骤：
（1）阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
（2）根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．
（3）根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
（4）将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.
3．（2021·上海松江区·高三一模）已知函数 .
（1）求 的最小正周期和值域；
（2）若对任意 ， 的恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）最小正周期 ，值域为 ；（2）.
【分析】
（1）利用三角恒等变换进行化简，即可求得周期与值域；
（2）设 ，由（1）得 ，转化为二次不等式恒成立问题，分离参数，求取值范围.
【详解】
解：（1）
∴的为最小正周期 ，
值域为 ；
（2）记 ，则 ，
由 恒成立，
知 恒成立，即 恒成立，
∵ ∴ .
∵在 时单调递增
∴k的取值范围是
4．（2021·上海金山区·高三一模）已知 ､ ､ 是 中 ､ ､ 的对边， ， ，
.
（1）求 ；
（2）求 的值.
【答案】（1） ；（2）.
【分析】
（1）利用余弦定理求 ；（2）利用余弦定理求 ，再利用二倍角公式求 .
【详解】
（1）在 中，由余弦定理得， ，
即 ，
整理，得 ，
解得 ；
（2）在 中，由余弦定理得， ，
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2021高考考点必杀500题专练09（三角函数与解三角形大题）（30道）1．（2021·上海黄浦区·高三一模）在中，内角所对的边分别为，若为钝角，且.（1）求角的大小；（2）记，求函数的值域.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据正弦定理对等式边角互化，可得，再由为钝角，即可求得角的值；（2）由三角形内角和定理可得的范围，化简函数，利用整体法求解三角函数的值域.【详解】（1）的内角所对的边分别为，，∴根据正弦定理：，可化为.∴，为钝角，.（2），，，得..又因为，可得.由函数的图像，可知，即.因此，.所以函数的值域是.【点睛】关于三角函数解析式的化简问题，首先需要利用和差公式或者诱导公式展...
作者：周伟光
分类：中小学教育资料
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