Boussinesq方程的Darboux变换及其精确解

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3.0 牛悦 2024-11-07 6 4 3.04MB 51 页 15积分

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Boussinesq 方程的 Darboux 变换

及其精确解

摘要

Darboux 变换法是求解孤子方程的一种非常有效的方法，它从孤子方程的一

个平凡解出发得到一系列精确解．本文主要利用 Darboux 变换法构造 Boussinesq

方程

的精确解．Boussinesq 方程是描述浅水波运动的模型方程，对其精确解的研究具

有重要的意义．

本文分为三部分：

第一部分，首先简要叙述孤立子理论的发展状况和孤子类型，其次介绍孤子

方程的求解方法，最后概述了本论文的主要研究内容及创新点．

第二部分，在第一种函数变换

的作用下，结合已有的文献，推广了相应矩阵形式谱问题的次 Darboux 变换．

选择不同参数，求出更多精确解．当参数时，利用 Mathematica 软件，

得到 Boussinesq 方程新的现象，即孤波运动过程中有孤波的结合和弹性碰撞的耦

合作用．结合对应的辅谱问题，由两个(1+1)- 维孤子方程得到了(2+1)- 维

Kadomtsev–Petviashvili (KP) 方程，并利用构造的 Darboux 变换求出新的钟状孤子

解．

第三部分，在第二种函数变换

的作用下，将相应谱问题转换为矩阵形式的谱问题．为了避

免一次 Darboux 变换迭代的繁琐，直接构造了两种新的次 Darboux 变换．由于

矩阵转化过程中引入向量，Darboux 矩阵的元素之间需要给出一定的

制约关系．这与已有的 Darboux 变换有很大区别，相关的研究还很少．文中同时

求出 Boussinesq 方程的精确解.

关键词：孤子方程 Boussinesq 方程 KP 方程 Darboux 变换法精确

解

ABSTRACT

The Darboux transformation method is an effective method to obtain explicit

solutions of soliton equations from a trivial solution. In this paper, by using Darboux

transformation method, we construct explicit solutions of the Boussinesq system

Boussinesq equation is a model equation which described shallow water wave motion,

and it is of great significance to study explicit solutions of the Boussinesq system.

There are three sections in this article.

The first part is to sketch the development of the soliton theory and soliton types,

followed by introduction of the method of solving soliton equations, as well as the main

research contents and innovation points of the article.

In the second part, under the action of the first function transformation

and combined with the existing literatures, we generalize the N-fold Darboux

transformation of the corresponding matrix spectral problem. Selecting different

parameters, we obtain more explicit solutions. When by Mathematica

software, we get a new phenomenon of the Boussinesq system, which describing

elastic-fusion-coupled interaction. Meanwhile, by auxiliary spectral problems, we

derive (2+1)-dimensional Kadomtsev–Petviashvili (KP) equation according two (1+1)-

dimensional soliton equations. And with the help of the constructed Darboux

transformation , we obtain new bell soliton solutions of the KP equation.

In section three, under the action of the second function transformation

the corresponding spectral problem is converted to matrix spectral

problem. In order to avoid the tedious iteration of the one-fold Darboux transformation,

we constructs two new N-fold Darboux transformations of the Boussinesq system. Since

we introduce the vector the elements of the constructed Darboux matrix

need certain constraints. It is great different from obtained forms, and relevant research

is still few. At the same time, we also obtain the explicit solutions of the Boussinesq

system.

Key word: soliton equations, Boussinesq equation, KP equation,

Darboux transformation, explicit solution

中文摘要

ABSTRACT

第一章绪论.......................................................1

1.1 孤立子理论的发展状况及孤子类型..............................1

1.2 非线性发展方程的求解方法....................................2

1.2.1 反散射方法..............................................3

1.2.2 Bäcklund 变换法.........................................3

1.2.3 Hirota 双线性法..........................................4

1.2.4 Darboux 变换法..........................................4

1.3 本文的研究内容..............................................6

1.3.1 Boussinesq 方程的研究状况................................6

1.3.2 本文的研究内容..........................................7

1.4 本文的创新点................................................8

第二章第一种函数变换下的 Darboux 变换及其精确解..................10

2.1 引言.......................................................10

2.2 Darboux 变换...............................................11

2.3 精确解......................................................17

2.4 KP 方程的 Darboux 变换及其精确解............................22

第三章第二种函数变换下的 Darboux 变换及其精确解..................27

3.1 引言.......................................................27

3.2 Darboux 变换...............................................28

3.3 精确解......................................................33

3.4 命题 3.2 证明中系数的确定...................................35

3.5 命题 3.3 证明中系数的确定...................................38

参考文献.........................................................43

在读期间公开发表的论文和承担科研项目及取得成果...................49

致谢.............................................................50

第一章绪论

本章首先简要叙述孤立子理论的发展状况及孤子类型；其次介绍非线性发展

方程的求解方法，着重介绍 Darboux 变换法；最后概述了本文主要研究内容及创

新点．

1.1 孤立子理论的发展状况及孤子类型

随着人们对科学的深入探索和研究，我们发现非线性现象广泛存在于自然界

和社会生活中，也正因为这样，揭示和利用它们的内在变化规律就成了十分重要

的课题，在对非线性科学的研究中人们提出了孤立子的概念．孤立子(soliton)最早

是在自然界观察到的，从发现孤子到现在虽历经了 170 多年，但它的重大发展和

应用却始于 20 世纪70 年代．下面我们简要叙述其发展历程．

关于孤立子的历史，我们应追溯到1834 年，英国科学家、造船工程师John

Scott Russell(1808-1882) [1]在勘探连接爱丁堡和格拉斯哥运河道时，偶然发现在狭

窄的河床中行走的船突然停止前进，被船体带动水团并没有停止，而是积聚在船

头周围并剧烈地翻动着．不久，一个圆形且轮廓分明的巨大孤立波峰开始形成，

并急速离开船头向前运动．在前进过程中波的形状和速度无明显变化，而高度逐

渐下降，在跟踪二至三公里后，最终消失在蜿蜒的河道之中．这种奇秒自然现象

的发现促使 Russell 开始了大量的水波实验研究．他认为这种“孤立波”应当表现

为流体运动相关方程的一个解．然而，由于当时数学水平有限，他未能成功证明

并使物理学家信服他的观点．直到 1882 年他去世时，他的观点也没有得到当时科

学界的认可．关于孤波的存在与否一直成为学术界广泛争论而又未能解决的问题．

直到 1895 年，荷兰著名数学家Korteweg 和他的学生 de Vries[2]才结束了这场

争论．他们在小振幅和长波的假定下，并以此建立了浅水波运动方程

其中为波面高度，为水深，为重力加速度，是水的密度，是与水的

匀速流动有关的小常数，是水的表面张力．此后Korteweg 和de Vries 对方程作

函数变换得到了著名的非线性发展方程：KdV 方程

利用行波方法，加上在无穷远处迅速衰减的条件，求出了与 Russell 描述一致的孤

波解．KdV 方程的提出，从理论上阐明了孤立波的存在．然而，这种波是否稳定，

两个波碰撞后是否变形？这个问题长期没有得到解答．于是关于孤立波的研究再

次搁浅．

经过了 60 年的沉寂之后，1955 年，著名物理学家Fermi，Pasta 和Ulam 在研

究著名的FPU 问题[3]（即将 64 个质点用非线性弹簧连接成一条非线性振动弦．最

初状态，所有能量都集中在一个质点上，即其它 63 个质点的初始能量为零）时，

再次发现了类似孤立波的性质．然而，由于当时只在频率空间来考虑问题，未能

发现孤立波解，因此该问题没有明显的突破进展．之后，Toda 继续研究该问题，

得到了孤立波解[4]．

Boussinesq 方程的 Darboux 变换及其精确解

1962 年，Perring 和Skyrme[5]在将 Sine-Gordon 方程用于研究基本粒子时发现，

Sine-Gordon 方程的孤立波解具有弹性碰撞的特点，即碰撞前后两个孤立波具有相

同的形状和速度．1965 年，美国著名物理学家、美国科学院院士 Kruskal 和物理学

家Zabusky 对FPU 的问题用 KdV 方程进行了研究．研究发现，两个 KdV 方程孤

立波相互碰撞，碰撞后保持稳定的波形，类似于粒子碰撞的性质，将其命名为

“孤立子”[6]．

“孤立子”没有准确的定义，一般来说，任何空间中传播的扰动，都称为波．

在传播中不改变形状，大小和方向的波称为孤波．两个孤波经过相互作用仍不改

变形状，大小和方向，称为孤立子．孤立子这种非常奇特的性质反映了非线性科

学中一类较为稳定的现象．

20 世纪70 年代以来，孤立子理论的研究蓬勃发展，在世界范围内掀起了研

究的热潮[7-13]．随着时间的推移，其研究已经渗透到了很多学科领域，例如流体

力学、等离子体物理、非线性光学、激光、超导、量子论、晶格、凝聚态物理、经典场

论等，并在这些领域有着广泛的应用[14-20]．孤立子非凡的性质、深刻的物理根源和

正在开拓的广阔应用前景，都向人们施展着愈来愈大的科学魅力．

在研究的过程中，人们发现孤立子有很多种类型，除常见的钟状和扭状孤立

子外，还有反扭状孤立子、正孤立子、反孤立子、呼吸孤立子、圆锥曲线孤立子以及

它们叠加形成的形形色色的孤立子．

1.2 非线性发展方程的求解方法

一般而言，人们很难得到非线性发展方程的显式精确解，更多的是应用数值

计算的方法来得到其数值解，但数值计算方法存在明显的局限性：首先，它只能

针对给定的个别初值计算数值解，而且只能计算有限次；其次，数值解本身还存

在非线性计算不稳定性和解的不可靠性问题．因此，寻求非线性发展方程的精确

解一直是人们所关注的课题．由于非线性发展方程的复杂性尚无统一的方法求出

精确解．多年来，许多数学家和物理学家做了大量工作，发现了孤立子理论中蕴

藏着一系列构造精确解的有效方法．如反散射方法[21-24] 、Bäcklund 变换法[25-

27]、Darboux 变换法[28-33]、Hirota 双线性法[34-37]、非线性化法[38-40]等．随着各种求解方

法的出现，很多非线性偏微方程的物理意义解被发现和应用，下面简要介绍几种

典型的方法．

1.2.1 反散射方法

1967年，Gardner、Green、Kruskal和Miura(GGKM)发现可以用Schrödinger方程

的反散射理论求解KdV方程的初值问题．他们首先对KdV方程

(1.2.1)

作变换

， (1.2.2)

其中参数为常数，则变换(1.2.2)可线性化为一维定态的Schrödinger方程

(1.2.3)

他们发现：如果方程(1.2.3)的势函数按照KdV方程(1.2.1)随时间变化，

那么谱参数就是与时间无关的，并且本征函数随时间的演化满足方程

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摘要：

Boussinesq方程的Darboux变换及其精确解摘要Darboux变换法是求解孤子方程的一种非常有效的方法，它从孤子方程的一个平凡解出发得到一系列精确解．本文主要利用Darboux变换法构造Boussinesq方程的精确解．Boussinesq方程是描述浅水波运动的模型方程，对其精确解的研究具有重要的意义．本文分为三部分：第一部分，首先简要叙述孤立子理论的发展状况和孤子类型，其次介绍孤子方程的求解方法，最后概述了本论文的主要研究内容及创新点．第二部分，在第一种函数变换的作用下，结合已有的文献，推广了相应矩阵形式谱问题的次Darboux变换．选择不同参数，求出更多精确解．当参数时，利用Ma...

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