七年级数学下册培优练习【考点培优尖子生专用】（沪教版）-10 几何模型之全等三角形综合问题专练（解析版）

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3.0 李佳 2024-10-12 4 4 998.85KB 40 页 15积分

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编者优尖升教育：

本专辑专为 2022-2023 年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。

思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中

等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前 4题；基础中等的学生必做前 4题、选做 5-8

题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。

专题 10 几何模型之全等三角形综合问题专练（解析版）

错误率：___________易错题号：___________

一、单选题

1．如图，△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，△ABC 的顶点 A在△ECD 的斜边 DE 上．下列结论：

①△ACE≌△BCD；②∠DAB＝∠ACE；③ AE+AC＝CD；④△ABD 是直角三角形．其中正确的有（　

）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【标准答案】C

【思路指引】

根据等腰直角三角形的性质得到 CA＝CB，∠CAB＝∠CBA＝45°，CD＝CE，∠E＝∠CDE＝45°，则可根

据“SAS”证明△ACE≌△BCD，于是可对①进行判断；利用三角形外角性质得到∠DAB+∠BAC＝

∠E+∠ACE，加上∠CAB＝∠E＝45°，则可得对②进行判断；利用 CE＝CD 和三角形三边之间的关系可

对③进行判断；根据△ACE≌△BCD 得到∠BDC＝∠E＝45°，则可对④进行判断．

【详解详析】

∵△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，

∴CA＝CB，∠CAB＝∠CBA＝45°，CD＝CE，∠E＝∠CDE＝45°，

∵∠ACE+∠ACD＝∠ACD+∠BCD，

∴∠ACE＝∠BCD，

在△ACE 和△BCD 中，

，

∴△ACE≌△BCD（SAS），所以①正确；

∵∠DAC＝∠E+∠ACE，即∠DAB+∠BAC＝∠E+∠ACE，

而∠CAB＝∠E＝45°，

∴∠DAB＝∠ACE，所以②正确；

∵AE+AC＞CE，CE＝CD，

∴AE+AC＞CD，所以③错误；

∵△ACE≌△BCD，

∴∠BDC＝∠E＝45°，

∵∠CDE＝45°，

∴∠ADB＝∠ADC+∠BDC＝45°+45°＝90°，

∴△ADB 为直角三角形，所以④正确．

故选：C．

【名师指路】

本题是考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的判定与性质等知识,熟练

掌握全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键．

2．如图，已知锐角∠AOB．在射线 OA 上取一点 C，以点 O为圆心，OC 的长为半径作弧，交射线 OB 于

点D，连结 CD；分别以点 C，D为圆心，CD 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 内部交于点 P，连结

CP，DP；作射线 OP，交 CD 于点 Q．根据以上作图过程及所作图形，有下列结论① CP//OB；②∠AOP

= ∠BOP；③ OP⊥CD．其中正确的结论（）

A．①②③ B．②③ C．①③ D．③

【标准答案】B

【思路指引】

证明△OCP≌△ODP，得到∠AOP = ∠BOP，故②正确；根据 OC=OD，∠AOP = ∠BOP，得到

OQ⊥CD，故③正确；根据∠CPO 不一定等于∠BOP，得到 CP 不一定平行 OB，故①不正确，问题得解．

【详解详析】

解：由题意得，OC=OD，PC=PD，

又∵OP=OP，

∴△OCP≌△ODP，

∴∠AOP = ∠BOP，故②正确；

∵OC=OD，∠AOP = ∠BOP，

∴OQ⊥CD，即 OP⊥CD，故③正确；

由△OCP≌△ODP，

∴∠AOP = ∠BOP，∠CPO = ∠DPO，

但∠CPO 不一定等于∠BOP，

∴CP 不一定平行 OB，故①不正确．

故选：B

【名师指路】

本题考查了尺规作图，全等三角形性质，等腰三角形性质等知识，理解尺规作图，得到

OC=OD，PC=PD，进而得到△OCP≌△ODP 是解题关键．

3．如图，AB＝AC，点 D、E分别在 AC、AB 上，且 AE＝AD，连接 EC，BD，EC 交BD 于点 M，连接

AM，过点 A分别作 AF⊥CE，AG⊥BD，垂足分别为 F、G，则下列结论错误的是（　　）

A．△EBM≌△DCM

B．若 S△BEM＝S△ADM，则 E是AB 的中点

C．MA 平分∠EMD

D．若 E是AB 的中点，则 BM+AC＜EM+BD

【标准答案】D

【思路指引】

根据全等三角形的判定与性质分别证明△ABD≌△ACE，△EBM≌△DCM，△AEM≌△ADM 即可判断选

项A、B、C，延长 ME 至N，使得 EN =EM，连接 AN，证明△ANE≌△BME，得到 AN=BM，由 CE=BD

和三角形三边关系可判断选项 D．

【详解详析】

解：∵AB=AC，∠BAD＝∠CAE，AD=AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠B＝∠C，BD=CE，

∵AB=AC，AE＝AD，

∴AB－AE=AC－AD，

∴BE=CD，又∠B＝∠C，∠EMB＝∠DMC，

∴△EBM≌△DCM（AAS），故选项 A正确，不符合题意；

∴ME=MD，又 AE=AD，AM=AM，

∴△AEM≌△ADM（SSS），

∴∠AME＝∠AMD，S△AEM=S△ADM，

∴MA 平分∠EMD，故选项 C正确，不符合题意；

若S△BEM＝S△ADM，则 S△BEM＝S△AEM，

∴ME 为△AMB 的中线，

∴点E为AB 的中点，故选项 B正确，不符合题意；

延长 ME 至N，使得 EN =EM，连接 AN，

若E是AB 的中点，则 AE=BE，

又EN =EM，∠AEN＝∠BEM，

∴△ANE≌△BME(SAS)，

∴AN=BM，又 BD=CE，

∴BM+AC=AN+AC＞CN=EN+CE=EM+BD，

即BM+AC＞EM+BD，故选项 D错误，符合题意，

故选：D．

【名师指路】

本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、三角形的中线性质、角平分线的定义，熟练掌

握全等三角形的判定与性质，并能灵活的运用是解答的关键．

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摘要：

编者优尖升教育：本专辑专为2022-2023年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。专题10几何模型之全等三角形综合问题专练（解析版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上．下列结论：①△ACE≌△BCD；②∠DAB＝∠ACE；③AE+AC＝CD；④△ABD是直角三角形．其...

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