【沪教版数学8年级下】 知识总结-第15讲 特殊三角形的存在性（核心考点讲与练）（沪教版）（解析版)
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第 15 讲 特殊三角形的存在性（核心考点讲与练）
一、存在全等三角形
全等三角形的存在性问题考察了全等三角形的性质，利用边的关系结合两点间的距离
公式构造等量关系，主要的题型是求点的坐标．
二、存在等腰三角形
等腰三角形的分类讨论是压轴题中一个热门考点，本类题目均和图形运动有关，需要
学生有较强的逻辑思维能力，能够根据运动的性质，把最终的图形画出，利用分类讨论的思想，
结合题目中的已知条件建立等量关系．
三、存在直角三角形
直角三角形的特征非常明显，在平面直角坐标系内，直角三角形中一般有两个顶点是确定的，
另一个顶点在某个函数图像上，通常用两点间的距离公式表示出第三条边后再讨论三角形的哪个
角有可能是直角，根据这个直角的条件结合题目条件进行计算，此类综合题需要用到的知识较多 ，
需要考察学生的思维、分析能力．
一、存在全等三角形
例 1．（2018·上海八年级期末）如图，一次函数
y
=2
x
+4 的图象与
x
，
y
轴分别相交于点
A
，
B
，
以
AB
为边作正方形
ABCD
（点
D
落在第四象限）．
（1）求点
A
，
B
，
D
的坐标；
（2）联结
OC
，设正方形的边
CD
与
x
相交于点
E
，点
M
在
x
轴上，如果△
ADE
与△
COM
全等，求点
M
的坐标．
【答案】（1）
A
（-2，0），
B
（0，4），
D
（2，-2）；（2）
M
（5，0）．
【分析】(1)由于一次函数 y=2x+4 的图象与 x、y 轴分别交于点 A、B，所以利用函数解析式
即可求出 A、B 两点的坐标，然后作 DF⊥x 轴于点 F，由四边形 ABCD 是正方形可以得到∠BAD
=∠AOB=∠AFD=90º，AB=AD，接着证明△BAO≌△ADF，最后利用全等三角形的性质可以得到 D
F=AO=2，AF=BO=4，从而求出点 D 的坐标；
(2) 过点
C
作
CG
⊥
y
轴于
G
，连接
OC
，作
CM
⊥
OC
交
x
轴于
M
，用求点 D 的方法求得点 C 的坐
标为（4，2），得出 OC=2 ，由 A、B 的坐标得到 AB=2 ，从而 OC=AB=AD，根据△
ADE
与
△
COM
全等，利用全等三角形的性质可知 OM=AE，即 OA=EM=2，利用 C、D 的坐标求出直线 CD
的解析式，得出点 E 的坐标，根据 EM=2，即可求出点 M 的坐标.
【详解】解：（1）∵一次函数
y
=2
x
+4 的图象与
x
，
y
轴分别相交于点
A
，
B
，
∴
A
（-2，0），
B
（0，4），
∴
OA
=2，
OB
=4，
如图 1，过点
D
作
DF
⊥
x
轴于
F
，
∴∠
DAF
+∠
ADF
=90°，
∵四边形
ABCD
是正方形，
∴
AD
=
AB
，∠
BAD
=90°，
∴∠
DAF
+∠
BAO
=90°，
∴∠
ADF
=∠
BAO
，
在△
ADF
和△
BAO
中， ，
∴△
ADF
≌△
BAO
（
AAS
），
∴
DF
=
OA
=2，
AF
=
OB
=4，
∴
OF
=
AF
-
OA
=2，
∵点
D
落在第四象限，
∴
D
（2，-2）；
（2）如图 2，过点
C
作
CG
⊥
y
轴于
G
，连接
OC
，作
CM
⊥
OC
交
x
轴于
M
，
同（1）求点
D
的方法得，
C
（4，2），
∴
OC
= =2 ，
∵
A
（-2，0），
B
（0，4），
∴
AB
=2 ，
∵四边形
ABCD
是正方形，
∴
AD
=
AB
=2 =
OC
，
∵△
ADE
与△
COM
全等，且点
M
在
x
轴上，
∴△
ADE
≌△
OCM
，
∴
OM
=
AE
，
∵
OM
=
OE
+
EM
，
AE
=
OE
+
OA
，
∴
EM
=
OA
=2，
∵
C
（4，2），
D
（2，-2），
∴直线
CD
的解析式为
y
=2
x
-6，
令
y
=0，
∴2
x
-6=0，
∴
x
=3，
∴
E
（3，0），
∴
OM
=5，
∴
M
（5，0）．
故答案为(1)A(-2，0)，B(0，4)，D(2，-2)；(2)M(5，0).
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，全等三角形的判定与性
质.
二、存在等腰三角形
例 1．（2021·上海八年级期末）如图，在直角坐标平面内，点 是坐标原点，点 坐标为
，将直线 绕点 顺时针旋转 后得到直线 ．
摘要：
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第15讲特殊三角形的存在性（核心考点讲与练）一、存在全等三角形全等三角形的存在性问题考察了全等三角形的性质，利用边的关系结合两点间的距离公式构造等量关系，主要的题型是求点的坐标．二、存在等腰三角形等腰三角形的分类讨论是压轴题中一个热门考点，本类题目均和图形运动有关，需要学生有较强的逻辑思维能力，能够根据运动的性质，把最终的图形画出，利用分类讨论的思想，结合题目中的已知条件建立等量关系．三、存在直角三角形直角三角形的特征非常明显，在平面直角坐标系内，直角三角形中一般有两个顶点是确定的，另一个顶点在某个函数图像上，通常用两点间的距离公式表示出第三条边后再讨论三角形的哪个角有可能是直角，根据这个直角...
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作者：李江
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