【沪教版数学6年级下】 专项练习-第07讲不等式及其性质与一元一次不等式的解法（核心考点讲与练）-（沪教版）（解析版）

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3.0 李江 2024-09-29 4 4 305.95KB 28 页 5积分
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第 07 讲不等式及其性质与一元一次不等式的解法
（核心考点讲与练）
一．不等式的定义
（1）不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示
不等关系的式子也是不等式．
（2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、
“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数．
二．不等式的性质
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，
即：
若a＞b，那么 a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且 m＞0，那么 am＞bm 或＞；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且 m＜0，那么 am＜bm 或＜；
（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，
但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
【规律方法】
1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要
改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于
0进行分类讨论．
2．不等式的传递性：若 a＞b，b＞c，则 a＞c．
三．不等式的解集
（1）不等式的解的定义：
使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．
（2）不等式的解集：
能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集．
（3）解不等式的定义：
求不等式的解集的过程叫做解不等式．
（4）不等式的解和解集的区别和联系
不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．
不等式的每一个解都在它的解集的范围内．
四．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若
边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
　　某不等式求得的解集为 x＞a，其验证方法可以先将 a代入原不等式，则两边相等，其次在 x
＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
五．一元一次不等式的定义
（1）一元一次不等式的定义：
含有一个未知数，未知数的次数是 1的不等式，叫做一元一次不等式．
（2）概念解析
一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即
它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接．
另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．
但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式．
六．解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；
④合并同类项；⑤化系数为 1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为 1可能用到性质 3，即可能变不等号方向，其他都不
会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号
合写形式．
七．一元一次不等式的整数解
解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步
所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到
需要的值，进而非常容易的解决问题．
八．由实际问题抽象出一元一次不等式
用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是
正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．
因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系．
九．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到
实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题
中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
一．不等式的定义（共3小题）
1．（2008 秋•江干区期末）若图示的两架天平都保持平衡，则对 a、b、c三种物体的重量判断正
确的是（　　）
A．a＞cB．a＜cC．a＜bD．b＜c
【分析】找出不等关系是解决本题的关键．
【解答】解：由图一可知：2a＝3b，a＞b；由图二可知：2b＝3c，b＞c．
故a＞b＞c．
故选：A．
【点评】解决问题的关键是读懂图意，进而列出正确的不等式．
2．（2020 秋•娄底期末）下面给出了 5个式子：①3＞0，②4x+y＜2，③2x＝3，④x1﹣，
⑤x+2≤3，其中不等式有（　　）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据不等式的定义进行判断．
【解答】解：不等式有：①3＞0，②4x+y＜2，⑤x+2≤3．
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的定义：表示不等关系的式子，叫做不等式，常用的不等号有
“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．
3．（2021 秋•肥西县期末）若 x是非负数，则 x　≥　0（填不等号）．
【分析】直接利用非负数的定义得出答案．
【解答】解：由题意可得：x≥0．
故答案为：≥．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确把握非负数的定义是解题
关键．
二．不等式的性质（共5小题）
4．（2021 春•嘉定区期中）如果a＞b，那么下列不等式中正确的是（　　）
A．a﹣b＞0 B．ac2＞bc2C．c﹣a＞c﹣bD．a+3＜b3﹣
【分析】根据不等式的性质逐项计算可判定求解．
摘要：

第07讲不等式及其性质与一元一次不等式的解法（核心考点讲与练）一．不等式的定义（1）不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．（2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数．二．不等式的性质（1）不等式的基本性质①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：若a＞b，那么a±m＞b±m；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞；③不等式的两边...

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