复杂系统的分数阶控制技术应用研究
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摘 要
经典 PID 控制器在航天航空、医疗、工业、军事等场合的应用已经非常广
泛，其控制理论和控制参数的设计方法也已经很成熟了，然而它在跟踪精度、抗
干扰方面却略显不足。从纯数学的角度来分析，分数阶 PID 控制器比经典 PID
的可变参数更多，定义域范围更广，在同等控制条件下，合适的分数阶控制器较
之经典 PID 控制器能够取得更加令人满意的控制结果。
虽然分数阶控制器的理论性研究及其实际运用尚未成熟，但其良好的控制效
果却有着诱人的发展前景，本文研究探讨了基于 TS 模糊模型的分数阶 PID 控制
器在复杂控制系统中的实际应用和实现，主要研究内容为：1．研究学习了分数
阶微积分的基本概念、基本性质以及分数阶系统的内部稳定性和外部稳定性的判
定方法；2．针对线性系统中的分数阶 PID 控制的参数整定，以经典控制理论的
频域分析方法以及现有成果作为基础，对分数阶控制器的五个自由度参数在整定
过程中计算复杂、控制器参数需要反复整定的问题，提出了基于扩展频域整定的
办法，在保持控制效果良好的基础上减少了整定参数的个数。3．为了进一步增
强分数阶控制器的稳定性，本文利用 TS 模糊模型的自适应性、简洁的优点，提
出了基于 TS 模糊模型的分数阶 PID 控制器的方法，即以偏差
e
和偏差的变化率
e
作为 TS 模糊模型的系统输入，动态调节分数阶控制器的参数，最终使控制器
满足自动调节的控制目的。4．针对最近兴起的智能车辆控制系统，本文以 6自
由度无人车模型作为研究对象，应用 TS 模糊模型的分数阶 PID 控制器作为控制
算法。最终的仿真实验结果表明，该算法在无人车应用方面，其跟踪精度、超调
量、车辆控制平稳性的控制效果均优于经典 PID 控制器 。
关键词：分数阶控制系统 稳定性分析 分数阶 PID TS 模糊系统
智能车
ABSTRACT
The application of classical PID controller is already very widely, and its control
theory and control parameters has also been very mature. However, it appears to be
insufficient in some aspects, such as the accuracy of tracking and anti-interference.
Fractional-order PID is analyzing from a purely mathematical point of view, and it has
wider range of domain. Especially under the same control conditions, a suitable
fractional control can achieve a more satisfied result than classical PID control does.
Although the theory and application of fractional controller is not yet mature, the
good control effect of it has attractive prospect. This paper studies the application and
realization of fractional-order PID controller in complex control systems, which is
based on TS fuzzy model. The main contents are: 1. it introduces the basic concepts and
basic properties of fractional calculus and determination method of its internal and
external stability; 2. it proposes a method of parameter calculation and tuning for
fractional order PID controller, based on the frequency domain analysis method in
classical control theory. In the meantime, to resolve the difficulty to calculate and tune
of the five freedom parameters of fractional-order controller, it also proposes an
approach based on Extended frequency domain, while keeping good control effect on
the basis of reducing the number of parameters. 3. in order to improve the robustness of
fractional order controllers further, it makes use of the adaptability and simplicity of
fuzzy TS model, and proposes an approach for fractional-order PID controller based on
fuzzy TS model. 4. For the recent rise of intelligent vehicle systems, this paper takes 6
DOF unmanned vehicle model as study object, and takes TS fuzzy model based
fractional PID controllers as control algorithm. The final simulation results show that
the algorithm in unmanned vehicle applications, especially for the operation of the
vehicle stability have better control effect than other algorithms.
Key Word ：Fractional-order Control System, Stability Analysis,
Fractional-order PID, T-S Fuzzy Systems, Intelligent Vehicle
目 录
摘要
ABSTRACT
第一章 绪论 ....................................................... 1
1.1 分数阶理论的介绍 ............................................ 1
1.2 分数阶系统求解 ............................................... 2
1.3 分数阶控制器的应用 ........................................... 3
1.4 分数阶微积分与整数阶微积分的比较 ............................ 4
1.5 本文研究目的和主要内容 ...................................... 5
第二章 分数阶微积分基础理论的研究 ................................. 7
2.1 分数阶微积分的定义 ........................................... 7
2.2 分数阶微积分的相关性质 ...................................... 11
2.3 分数阶微积分的 Laplace 变换 .................................. 12
2.4 分数阶系统的稳定性研究 ...................................... 13
2.4.1 外部稳定性 .............................................. 14
2.4.2 内部稳定性 .............................................. 14
2.5 本章小结 .................................................... 15
第三章 分数阶 PID 控制器 .......................................... 16
3.1 经典 PID 控制方式 ............................................ 16
3.2 分数阶 PID 控制器设计 ........................................ 17
3.2.1 分数阶 PID 控制器 ........................................ 17
3.2.2 分数阶 PID 控制器设计 .................................... 18
3.3 一种优化的分数阶控制器 ...................................... 20
3.3.1 分数阶系统在扩展频域中的研究 ............................ 20
3.3.2 改进的分数阶频域控制器 .................................. 26
3.4 本章小结 .................................................... 30
第四章 基于 T-S 模糊模型的分数阶 PID 控制器 ........................ 31
4.1 模糊控制系统简介 ........................................... 31
4.1.1 模糊控制理论概述 ....................................... 31
4.1.2 模糊控制模型的基本原理 ................................. 32
4.1.3 常见的模糊系统 ......................................... 36
4.2 T-S 模糊控制模型 ............................................ 38
4.2.1 T-S 模糊模型的概念 ...................................... 38
4.2.2 T-S 模糊模型的特点 ...................................... 38
4.3 基于 T-S 模糊模型的分数阶 PID 控制器 ......................... 39
4.3.1 TS-PID 模糊控制器简介 ................................... 40
4.3.2 基于 T-S 模型的分数阶 PID 控制器 .......................... 42
4.4 本章小结 ................................................... 44
第五章 T-S 模糊模型的分数阶 PID 控制算法的应用与仿真 ............... 46
5.1 智能车辆系统 ................................................ 46
5.1.1 智能车辆技术简介 ........................................ 46
5.1.2 智能车辆系统控制模型 .................................... 47
5.1.3 智能车辆系统建模与分析 .................................. 47
5.2 基于 TS 模糊模型的分数阶 PID 算法应用与仿真研究 .............. 54
5.2.1 TS 分数阶 PID 控制算法 ................................... 54
5.2.2 仿真结果及分析 .......................................... 56
5.3 本章小结 .................................................... 59
第六章 总结与展望 ................................................ 60
参考文献 ......................................................... 61
致谢 ............................................................. 67
攻读硕士学位期间发表的主要论文 ................................... 68
第一章 绪论
1
第一章 绪论
1.1 分数阶理论的介绍
分数阶微积分所研究的内容为任何阶次的微分、积分算子特性及其应用等一
系列的数学问题，而不仅仅是通常所说、并且已经被广泛运用的整数阶微积分。
当算子的阶次为整数时，就得到了常见的整数阶微积分，由此可知，分数阶微积
分其实就是将传统算法下微分、积分算子的取值，由整数扩展到了全体复数的情
况。这里所说的“复数”，是指算子阶次不仅仅是整数，分数、无理数等都是包含
在内的。为了使研究简单化，统一称之为“分数阶”。
关于分数阶微积分这一话题，Leibniz 和L’Hospital 于17 世纪时便已经在书信
当中展开讨论了，而当时，整数阶微积分也仅仅还在发展之中。截止目前为止，
这个话题已是 300 多年前的事了，但是由于种种客观条件所限，例如处理方式、
实际运用等，分数阶微积分在 1900 年以前却一直处在纯理论研究的阶段。直到二
十世纪末，得益于计算机水平的突飞猛进以及工程实际需求的加强，分数阶微积
分从纸上谈兵阶段到实际工程实践阶段发生了非常大的跨越，使得其使用范围也
随之快速扩大，包括应用数学、医疗器械、化工、高分子材料和信息科学技术等
等在内的众多基本研究领域[10,12]。分数阶微积分被用来处理的首个实际问题是等
时曲线问题。早在 1823 年，分数阶微积分的 R-L 定义就已经出现，它由 Abel 在
解一个微分方程时发现的。然而，因为当时的分数阶微积分理论的发展还不够成
熟、定义方式也大相径庭，同时没有规范的运算规则等原因，大大降低了分数阶
理论在生产实际中的运用。直到 19 世纪中期，才陆续形成了分数阶微积分的几个
常用统一定义形式，即现在最常见的 R-L定义和 G-L 定义，是由 Liouville，Riemann，
Grunwald 和Letnikov 陆续发展起来的。时至今日，上述定义在工程实践中的使用
也经过了相当长的一段时间。
从控制领域的角度来说，分数阶微积分方程能够几乎完美地对具有分数阶性质
的被控对象加以数学描述，从而为分析系统的动态性能和稳定性提供了很好的客
观条件。最近 20 年，分数阶微积分已然成为一种探索研究具有分数阶性质的控制
系统的常见数学手段[62]。分数阶微积分的理论研究是建立在运算算子的阶次为分
数的前提之上的，以分数阶微积分的几种常见定义形式、分数阶微积分的存在性
与唯一性以及分数阶微积分的 Fourier 变换及 Laplace 变换等[14.23]为主要研究内容。
分数阶控制系统尚已出现很多模型形式，如时域或频域传递函数描述[19-23]，状态
空间描述[24]以及神经网络模型[26]等等。
在此期间，关于分数阶微积分理论研究的论文、专著就如同雨后春笋般大量
涌现，同时，国际上曾多次举办了分数阶微积分理论、分数阶微分方程理论和应
上海理工大学硕士学位论文
2
用的会议[68]。自二十世纪中后期开始，国际上涌现出了一些具有代表意义的专著，
如Miller 和Ross 编著的《An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional
Differential Equations》、Podlubny 编著的《Fractional Differential Equations》。这些
文献阐述了关于分数阶微积分方程的计算方法，并从物理角度解释了分数阶微积
分理论，同时加入了许多生产实践中常用的工具性知识到具有分数阶性质的工程
系统中来，如函数离散化方法、积分变换等，为分数阶控制理论的继续前进提供
了有力保障。
在分数阶控制理论与应用研究的飞速发展的同时，一些有价值的研究成果也
应运而生。为了使这些研究成果集中起来，同时也为了方便关于这些研究成果的
讨论，许多关于分数阶控制理论及应用的专题期刊也随之出版，如期刊《Journal of
Fractional Calculus(1992)》、《Fractional Calculus and Applied Analysis(1998)》及
《Fractional Dynamic Systems(2010)》；另外，在一些包括美国《数学评论》（MR,
Mathematical Reviews）在内的专业学科期刊，如《Journal of Vibration and Control》、
《Chaos, Solitons and Fractals》、《Journal of Mathematical Analysis and Applications》、
《Journal of Nonlinear Dynamics》、《Signal Processing》、《Nonlinear Analysis》、IEEE
部分会刊、《 SIAM》等数十种期刊的分类目录中都已列出专项，分别从理论研究
和实践两方面报道了分数阶控制系统的研究动态。
1.2 分数阶系统求解
随着分数阶微积分这一研究领域的出现，随之而来的就是要解决其计算问题，
这也是如今学者们需要探索的重要课题之一。由于想要计算分数阶微积分方程的
解析解不仅难度很大，且对于生产实践并没有很大的价值，而在工程控制当中最
常用到的却是分数阶微积分方程的数值解。不同的学者提出的求法也多种多样，
且大部分算法都因为计算机技术水平的飞速提高而获得了证明。
目前，大部分关于分数阶微积分方程的解都主要由研究者从分数阶微积分的
Caputo 定义得到。许多关于分数阶微积分方程的计算方法的研究，均是基于单项
的分数阶线性微积分方程而言的，其中，阶次<1 的分数阶微分方程一直是学者们
研究的重点与难点所在。最终，由此一步一步的推广到高阶、多项的分数阶线性
微积分方程。Edwards 等人[59]将分数阶微积分方程看做一个方程系，以此来开展研
究；以后，也陆续出现了许多不同科学家提出的针对分数阶微积分方程的计算方
法，等等。然而，以上的种种研究成果计算的均是分数阶线性微积分方程。在分
数阶非线性微分方程的探索方面，科研人员也投入了越来越多的精力。上述研究
基本上都是以分数阶微积分的 Caputo 定义为基点，所研究的对象也多是较低阶的
分数阶微分方程，所以很大一部分解法都不具备普适性，无法适用于高阶或是任
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