涉及微分多项式的亚纯函数族正规定则
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摘 要
我们知道，亚纯函数的正规族理论是复分析中的一个重要研究课题，国内外
许多学者对此已经做出了大量卓越的贡献，并得到了很多重要的成果.本文主要研
究涉及微分多项式的亚纯函数的正规性问题，无零点的亚纯函数族的正规性问题，
以及与分担值相关的两族全纯和亚纯函数的正规定则.全文共分五个部分来阐述这
些问题.
第一部分，介绍了一些亚纯函数正规族理论的研究背景，现有成果以及本文
的主要结果.
第二部分，对与本文有关的亚纯函数正规族理论的一些基本定义、基本结果
和常用记号作了介绍.
第三部分，主要推广了徐焱的一个结果，把高阶导函数推广到微分多项式的
情形，得出一个更一般的正规定则.即证明了以下两个定理：
定理 3.1.1 设 为区域
D
内的一族亚纯函数，再设
0z
为
D
内全纯
函数.若对于任意的
,fg
，
(i)
0fz
；
(ii)
L f z L g z
，
则 在
D
内正规.
定理 3.1.2 设 为区域
D
内的一族亚纯函数，仅有重级极点，再设
0
为
D
内全纯函数，且只有简单零点.若对于任意的
,fg
，
(i)
0fz
；
(ii)
L f z L g z
，
则 在
D
内正规.
第四部分，主要将徐焱定理中对全纯函数
的零点限制条件：“
0
为
D
内
全纯函数，且只有简单零点”和对亚纯函数族中的函数极点限制条件：“极点均为重
级”减弱，即证明了
定理 4.1.1 设 为区域
D
内的一族亚纯函数，再设
0
为
D
内全纯函
数.若对于任意的
,fg
，
k
，
(i)
0fz
；
(ii)
kk
f z z g z z
，
则 在
D
内正规.
第五部分，庞学诚教授曾提出的关于两族函数分担问题，即对于两族全纯或
者亚纯函数，其本身或其导函数分担某些值，若其中的一族函数正规，另一族函
数是否也正规.刘晓俊、李三华、庞学诚
11
证明了有关这个问题的两个定理，并指
出其与一族函数内任一组函数分担问题是有着本质不同，本文对两族函数的正规
性也做了一些研究，即证明了
定理 5.1.1 设 为区域
D
内的一族非零全纯函数，再设
1
、
2
是 的
两个子族，
k
，满足
2n
g
正规，且对任意的
2n
g
，
n
gg
，
g
且
k
g z z
.若对于任意的
1
f
，存在
2
g
，使得
(i)
kk
f z z g z z
，
则
1
在
D
内正规.
定理 5.1.2 设 为区域
D
内的一族非零亚纯函数，其极点的重级至少为
1k
，这里
k
，再设
1
、
2
是 的两个子族，满足
2n
g
正规，且任意
2n
g
，
n
gg
，
g
且
k
g z z
.若对于任意的
1
f
，存在
2
g
，
k
，
使得
(i)
f z g z
；
(ii)
kk
f z z g z z
，
则
1
在
D
内正规.
关键词: 亚纯函数 正规族 微分多项式 分担函数
ABSTRACT
As we know, the theory of normal families of meromorphic functions is an
important subject in complex analysis; many researchers have made a great number of
contributions to it and obtained a lot of important results. In this paper, we continue to
study the normality of families of meromorphic functions concerning differential
polynomials, and get the criterions of normality concerning nonzero meromorphic
functions and two families of functions which share one function. This article is divided
into five parts.
In part one, we introduce the background of research for the theory of normal
families of meromorphic functions and give the main results of this article.
In part two, we give some definitions, notations and lemmas about the theory of
normal families of meromorphic functions.
In part three, we generalize Y Xu’ results to differential polynomials and obtain the
following two theorems:
Theorem 3.1.1 Let be a family of meromorphic functions in a domain
D
,
and let
z
be a nonzero holomorphic function in
D
; If for every two functions
f
and
g
in ,
(i)
0f
;
(ii)
Lf
and
Lg
share
z
in
D
,
then is normal in
D
.
Theorem 3.1.2 Let be a family of meromorphic functions in a domain
D
,
all of whose poles are multiple. And let
0
be a holomorphic function in a domain
D
, and all of whose zeros are simple. If for every two functions
f
and
g
in ,
(i)
0f
;
(ii)
Lf
and
Lg
share
z
in
D
,
then is normal in
D
.
In part four, we show that the condition of
and
f
in Theorem 3.1.1 and Theorem
3.1.2 can be weakened and obtained:
Theorem 4.1.1 Let be a family of meromorphic functions in a domain
D
,and let
z
be a holomorphic function in
D
which is not identical to zero; If for
every two functions
f
and
g
in ,
k
,
(i)
0f
;
(ii)
k
f
and
k
g
share
z
in
D
,
then is normal in
D
.
In part five, a problem about two families of functions which share some values is
posed by X.C. Pang, that is for two families of meromorphic functions in which
condition, we can get if one is normal, the other must be normal. Two theorems about it
have been proved by X.J. Liu, S.H. Li and X.C. Pang
11
, and show that it is completely
different from the problem for each pair of functions in one family which share some
values. For the normality of two families, we obtained:
Theorem 5.1.1 Let be a family of nonzero holomorphic functions in a domain
D
, and let
12
,
be two subfamilies of ,
k
be a positive integer. Assume also
that
2
is normal, and for any subsequence
n
g
of
2
,
n
gg
in
D
, we have
g
and
k
g z z
. If for each
1
f
, there exists
2
g
such that
k
f
and
k
g
share
z
,
then
1
is normal in
D
.
Theorem 5.1.2 Let be a family of nonzero meromorphic functions in a domain
D
, all of whose zeros have multiplicity at least
1k
.And let
12
,
be two
subfamilies of ,
k
be a positive integer. Assume also that
2
is normal, and for any
subsequence
n
g
of
2
,
n
gg
in
D
, we have
g
and
k
g z z
.If for each
1
f
,
there exists
2
g
such that
(i)
f z g z
;
(ii)
kk
f z z g z z
,
then
1
is normal in
D
.
Key Words：Meromorphic Function, Normal Family, Differential
Polynomials , Share Function
目 录
中文摘要
ABSTRACT
第一章 绪 论 ..................................................... 1
1.1 研究的背景 ................................................. 1
1.2 已有结果与本文结果 ......................................... 1
第二章 基础知识 .................................................. 4
2.1 预备知识 ................................................... 4
2.2 几个重要的常用引理及定理 ................................... 5
2.3 符号说明 ................................................... 7
第三章 涉及微分多项式的亚纯函数族正规定则 ........................ 8
3.1 主要结果 ................................................... 8
3.2 主要引理 ................................................... 8
3.3 定理 3.1.1 的证明 ........................................... 9
3.4 定理 3.1.2 的证明 .......................................... 10
第四章 非零的亚纯函数族的一个正规定则 ........................... 16
4.1 主要结果 .................................................. 16
4.2 主要引理 .................................................. 16
4.3 定理 4.1.1 的证明 .......................................... 19
第五章 与分担值相关的两族函数的正规定则 ......................... 23
5.1 主要结果 .................................................. 23
5.2 主要引理 .................................................. 23
5.3 定理 5.1.1 的证明 .......................................... 27
5.4 定理 5.1.2 的证明 .......................................... 29
参考文献 ........................................................ 39
在读期间公开发表的论文和承担科研项目及取得成果 .................. 41
致 谢 .......................................................... 42
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作者：牛悦
分类：高等教育资料
价格：15积分
属性：45 页
大小：2.4MB
格式：PDF
时间：2025-01-09
