具有群体行为的捕食者-食饵动力学模型研究
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摘 要
在生物数学的众多分支学科中, 种群动力学是发展最为成熟、应用最为广泛的
一个. 种群动力学主要研究生态学中物种之间以及物种与环境之间的相互作用关
系. 种群之间的相互作用关系中一直备受关注的是捕食关系, 因此捕食者-食饵模
型成为许多学者研究的重要课题. 本文研究了三类具有群体行为的捕食者-食饵模
型并讨论了时滞与扩散两种因素对模型动力学行为的影响, 具体内容如下:
第一章概述了捕食者-食饵模型的相关背景、研究意义与研究现状, 最后简述
了本文的研究成果.
第二章研究了一类具有群体行为的时滞捕食者-食饵模型, 其中时滞刻画的是
营养转化需要的时间. 把时滞作为控制参数, 首先通过分析特征方程得到正平衡
点的局部渐近稳定和 Hopf 分支存在的条件; 其次利用泛函微分方程的规范型理论
和中心流形定理, 得到了用来确定 Hopf 分支方向和分支周期解性质的公式; 最后
通过数值仿真验证了所得结果的正确性.
第三章研究了一类具有群体行为的反应扩散捕食者-食饵模型, 在建模时假设
食饵种群与捕食者种群均可以在二维有界区域内随机游走. 首先通过线性稳定性
分析, 得到了可能出现图灵斑图的参数空间; 其次利用多尺度分析推导了在图灵
分支点附近波矢的振幅方程并得到了用来判定斑图稳定性的公式; 最后通过数值
仿真得到三种斑图结构:
H
斑图, 条状斑图以及二者共存斑图.
第四章研究了一类具有群体行为的时滞反应扩散捕食者-食饵模型, 在模型中
同时考虑了时滞与扩散两种因素. 首先通过分析特征方程, 得到正平衡点的局部
渐近稳定及系统存在 Hopf 分支的条件, 包括系统在正平衡点附近分支出空间同质
周期解和空间异质周期解的条件; 其次利用偏泛函微分方程的规范型理论和中心
流形定理, 得到了用来确定 Hopf 分支方向和分支周期解性质的公式.
第五章对本文的研究内容进行总结和展望.
关键词: 捕食者-食饵模型 群体行为 时滞 Hopf 分支 扩散 斑图
ABSTRACT
Population dynamics is one of the most grown-up and widespread used
subdiscipline in biomathematics. Population dynamics mainly study the interactive
relationships between the species and environment and interspecies in ecology. All the
time, the relationship between predator and prey has attracted attention in interactive
relationships among species. Therefore, the predator-prey model has become an
important problem attractting many scholars to research. In this paper, we investigate
the dynamical behaviors of three predator-prey models with herd behavior and discuss
the effects of time delay and diffusion to dynamical behaviors. The outline of this paper
is as follows:
In the first chapter, we give a summary of relevant background and researchful
significance of predator-prey model and introduce some newly developments in this
filed. At the end, we briefly state the main results obtained in this paper.
In the second chapter, a delayed predator-prey model with herd behavior is
investigated, where we use time delay to model the lag caused by nutrient conversion.
Firstly, choosing the time delay as a control parameter, we obtain the conditions of the
local asymptotic stability of the positive equilibrium and the existence of Hopf
bifurcation by the qualitative analysis of characteristic equation. Making use of the
Normal form theory and central manifold theorem, we obtain the formula to determine
the direction, stability and period of bifurcating periodic solution. Finally, numerical
simulations are carried out to illustrate our results.
In the third chapter, a model of reaction-diffusion predator-prey model with herd
behavior is discussed, where we assume that both predator and prey population can
random walk in two-dimensional bounded domains. The parameter space in which
Turing pattern possibly takes place is obtained by analyzing linear stability. By the
multiple-scale analysis we deduce the amplitude equation of wave vector nearby the
Turing bifurcate point, and obtain the expression which is used to determine the
stability of the pattern. Furthermore, by numerical simulations, we find that the system
exists three kinds of pattern structure:
H
hexagons, stripes and
H
hexagons-stripe
mixtures.
In the fourth chapter, a delayed model of reaction-diffusion predator-prey model
with herd behavior is investigated, where both time delay and diffusion factors are taken
into account. Firstly, we obtain the conditions of local asymptotic stability of positive
equilibrium and the existence conditions of Hopf bifurcation, including the conditions
of spatial homogeneous and nonhomogeneous periodic solution respectively nearby the
positive equilibrium. Secondly, we obtain the formula which determines the direction
and properties of bifurcating periodic solution by Normal theory and center manifold
theorem of partial functional differential equations.
In the fifth chapter, we give the conclusion of our present work and the outlook for
further investigation.
Key Word: Predator-Prey Model, Herd Behavior, Time Delay, Hopf
Bifurcation, Diffusion, Pattern
目 录
中文摘要
ABSTACT
第一章 绪论.....................................................................................................................1
1.1 课题背景及研究意义........................................................................................1
1.2 研究现状及发展动态........................................................................................2
1.3 本文研究结果....................................................................................................5
第二章 具有群体行为的时滞捕食者-食饵模型的分支分析.......................................6
2.1 模型的建立........................................................................................................6
2.2 正平衡点的局部稳定性和 Hopf 分支的存在性..............................................7
2.3 分支方向及分支周期解的性质......................................................................10
2.4 数值仿真..........................................................................................................18
2.5 本章小结..........................................................................................................20
第三章 具有群体行为的反应扩散捕食者-食饵模型的斑图动力学行为分析….....21
3.1 模型的建立......................................................................................................21
3.2 线性稳定性分析与分支分析..........................................................................22
3.3 振幅方程系数推导与斑图稳定性分析..........................................................26
3.4 数值仿真..........................................................................................................32
3.5 本章小结..........................................................................................................35
第四章 具有群体行为的时滞反应扩散捕食者-食饵模型的分支分析.....................36
4.1 模型的建立......................................................................................................36
4.2 正平衡点的局部稳定性和 Hopf 分支的存在性............................................37
4.3 分支方向及分支周期解的性质......................................................................44
4.4 本章小结..........................................................................................................50
第五章 总结与展望.......................................................................................................51
附录.................................................................................................................................52
参考文献.........................................................................................................................53
在读期间公开发表的论文和承担科研项目及取得成果.............................................57
致谢.................................................................................................................................58
第一章 绪论
1
第一章 绪论
1. 1 课题背景及研究意义
生物数学(Biomathematics)是一个跨学科的领域, 其主要目标是利用数学的方
法和技巧为自然界的某些生物过程建立数学模型并进行分析. 早在 1974 年生物数
学就被联合国教科文组织列为一门独立学科, 它的基本理论和方法在生物学中有
广泛的应用并对当代生物学的发展产生了巨大影响.
人们对生物数学的认识开始于对人口增长规律的研究, 早在 16 世纪, 中国明
朝科学家徐光启就用数学方法估计了当时人口的增长规律-- “头三十年为一世”,
即人口大概每 30 年增加一倍. 1789 年, 英国著名统计学家 Malthus 建立了 Malthus
模型并提出了人口按几何级数增长的理论. 1838 年, 比利时人口统计学家 Verhulst
指出 Malthus 模型的局限性并建立了著名的 Logistic 模型. 20 世纪 20 年代, 意大利
生物学家 D’Ancona 在研究 Finme 港鱼类的变化规律时遇到了一个无法用生物理论
观点解释的问题-- “为什么捕鱼量的减少会更有利于掠肉鱼的繁殖增长?” 意大利
数学家 Volterra 在1926 年建立了一个微分方程模型(L-V 模型), 圆满地解释了
D’Ancona 的问题, 从此生物数学的发展进入了一个新阶段. 从20世纪 70年代开始,
大量微分方程及动力系统的理论和方法应用于数学模型的研究中, 之后伴随着计
算机的发展和普及，生物数学的研究得到了蓬勃发展. 2004 年Science 杂志在线刊
登了题为“科学的下一个新浪潮--生物数学”的特辑[1].
经过近一个世纪的发展, 生物数学的理论体系逐步完善并产生了许多重要的
分支学科[2-5]. 例如, 研究生态学中种群之间以及种群与环境之间相互作用的种群
动力学; 研究传染病发展和传播规律的传染病动力学; 研究细胞生长规律及其相
互作用的细胞动力学; 研究化学反应中分子间作用规律的化学反应动力学等. 在
生物数学的众多分支中, 种群动力学是目前发展最为成熟、应用最为广泛的一个.
种群动力学是利用数学的思想方法建立恰当的数学模型来描述物种的相互作用规
律, 可以对种群的发展过程和发展趋势进行预测和调控, 对生态环境的开发和治
理、动植物的保护以及生态学理论的发展等都有着重要的指导作用. 另一方面, 通
过观察实际的生态现象可以检验相关的数学理论和方法是否恰当, 并为数学理论
和方法的完善提供相关背景材料. 这样的研究工作就成为联系数学和生态学的纽
带和桥梁, 可以促进两个学科的共同发展. 因此, 种群动力学的研究工作一直备受
关注.
在生态学中, 生物群落是在特定的时间内聚集在一定的地域(或环境)中所有生
物种群的集合, 其中两个种群通过一定的相互作用形成的群落是自然界中最简单
的生物群落[6]. 两个种群的相互作用关系主要有以下三种: 互惠关系、竞争关系和
具有群体行为的捕食者-食饵动力学模型研究
2
捕食关系. 具有捕食关系的生物群落统称为捕食系统, 它也是种群动力学中被研
究者重点关注、研究最多的系统. 首次建立捕食系统数学模型的是数学家 Volterra,
他建立的 L-V 捕食模型不仅成功的解释了 D’Ancona 提出的问题, 而且也可以解释
著名的吹棉蚧现象. 后来, L-V 模型也成为经济、工程等许多领域的经典数学模型.
在经典 L-V 捕食模型的基础上许多学者根据具体捕食系统中的捕食规律提出
了各种形式的捕食者-食饵模型用来分析系统的演变规律, 使得人们能更精确和科
学地对种群的发展进行预测和干预. 这些理论成果已经直接或间接地应用于环境
治理、动植物保护及微生物培养等众多领域, 为社会发展做出了巨大贡献.
1. 2 研究现状及发展动态
随着研究的深入和实际问题的需要, 经典的 L-V 捕食模型逐渐被推广为一般
形式的功能性反应捕食者-食饵模型[3]
= ( ) ( , ) ,
[ ( , ) ( )] ,
dx F x x x y y
dt
dy k x y y y
dt
(1.2.1)
其中
= ( )x x t
和
= ( )y y t
分别表示
t
时刻食饵种群和捕食者种群的密度,
()Fx
表示无
捕食者时食饵种群的相对增长函数,
()y
表示无食饵时捕食者种群的相对死亡函
数,
( , )xy
是捕食者对食饵的功能性反应函数,
k
为转化系数.
在模型(1.2.1)的构建过程中, 食饵种群的相对增长函数
()Fx
、捕食者对食饵的
功能性反应函数
( , )xy
和捕食者种群的死亡函数
()y
起着决定性作用. 因此可以
认为对经典 L-V 模型的修改和发展就是对以上三者的修改和发展[6]. 陈兰荪教授
在其专著[3]中总结了
()Fx
和
()y
的各种形式, 如
( )= 1 x
F x r K
,
( )= Kx
F x r Kx
,
( )= 1 x
F x r K
, (
01
).
()ys
,
() a
yby
,
() ey f
yry s
, (
fe
sr
).
另外, 有学者[7-9]研究的模型中种群的相对死亡率与种群密度成正比, 即
()y sy
.
此类死亡率适用于中间级的捕食者种群, 如食鱼动物.
经典的 L-V 模型中的功能性反应函数是最简单的线性形式, 即假定功能性反
应与食饵种群规模成正比. 随着研究范围的不断拓展, 线性形式的功能性反应函
数已不能满足实际问题的需要. 经过长时间的探索, 许多学者根据具体的生态背
景提出了不同类型的功能性反应函数来刻画具体的功能性反应规律.
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作者：牛悦
分类：高等教育资料
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属性：60 页
大小：2.98MB
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时间：2025-01-09
