与分担值相关的亚纯函数的正规性

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3.0 陈辉 2024-11-20 7 4 319.74KB 16 页 15积分

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第一章预备知识

-1-

第一章预备知识

在值分布论的发展中,芬兰数学家 R.Nevanlinna 有着巨大的贡献. 1925 年他引

进了亚纯函数的特征函数,并建立了两个基本定理,被称为 Nevanlinna 理论.半个

多世纪以来, Nevanlinna 理论不断地发展和完善,在亚纯函数的正规性方面有着广

泛的应用.本章我们给出 Nevanlinna 基础理论中的常用记号,并叙述亚纯函数正规

族理论中的一些基本概念和相关结果.

§1.1 Nevanlinna 理论简介

本节将介绍 Nevanlinna 理论,在本文中符号同引文[1],如果没有特别说明,所

提到的亚纯函数是指开平面

{ :| | }C z z  

中的亚纯函数,用

{ }C C 

表示扩充

复平面.

我们先引进正对数的概念.

定义 1.1.1 对于

0x

,定义

log , 1;

log max(log ,0) 0, 0 1.

x x

x x x





   



我们称

log x



为

的正对数.

容易看出,对于任意正数

有

log log logx x x

 

 

设函数

( )f z

在

| | (0 )z R R   

上亚纯,对于

0R  

, Nevanlinna[2,3]引进以

下几个函数.

定义 1.1.2

( , ) log | ( ) |

m r f f re d









( , )m r f

也记为

( , ; )m r f

或

( , )m r 

,是

| ( ) |f z

的正对数在

| |z r

上的平均值.

定义 1.1.3

( , ) (0, )

( , ) (0, ) log

rn r f n f

N r f dt n f r



 



这里

( , )n t f

表示

( )f z

在

| |z t

上的极点个数,重级极点按照其重数计算,

(0, )n f

表

示

( )f z

在原点处极点重数(当

(0)f 

时,则

(0, ) 0n f 

)

( , )N r f

有时也记为

( , ; )N r f

或

( , )N r 

,称为

( )f z

极点的计数函数.

另外,

( , ) (0, )

( , ) (0, ) log

rn r f n f

N r f dt n f r



 



表示相应精简的计数函数.

定义 1.1.4

( , ) ( , ) ( , )T r f m r f N r f 

( , )T r f

称为

( )f z

的特征函数,显然它是非负函数.

设

为任一有穷复数,则

( )f z a

在

| |z R

上亚纯,根据上述定义, Nevanlinna 引

进以下几个函数.

与分担值相关的亚纯函数的正规性

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定义 1.1.2’

1 1 1

( , ) log | |

2 ( )

m r d

f a f re a











 



( , )m r f a

也记为

( , ; )m r a f

或

( , )m r a

定义 1.1.3’

1 1

( , ) (0, )

1 1

( , ) (0, ) log

rn r n

f a f a

N r dt n r

f a t f a



 

 

 



这里

( , )n t f a

也记为

( , ; )n t a f

或

( , )n t a

;

(0, )nf a

也记为

(0, ; )n a f

或

(0, )n a

( , )N r f a

也记为

( , ; )N r a f

或

( , )N r a

,称作

( )f z

的

值点的计数函数.

1 1

( , ) (0, )

1 1

( , ) (0, ) log

rn r n

f a f a

N r dt n r

f a t f a



 

 

 



表示相应精简的计数

函数.

定义 1.1.4’

1 1 1

( , ) ( , ) ( , )T r m r N r

f a f a f a

 

  

( , )T r f a

称为

( )f z a

的特征函数.

定理 1.1.1[1] (Nevanlinna 第一基本定理)设

( )f z

是

| | (0 )z R R   

上的亚纯函

数,若

为任一有穷复数,而且

( )f z

不恒等于

,则对于

0r R 

,有

( , ) ( , ) log | | ( , )T r T r f c a r

f a



  



, (1.1.1)

其中



是

( )f z a

在原点的 Laurent 展式(按升幂排列)中的第一个非零系数,并且

有

| ( , ) | log | | log 2a r a





 

通常我们将(1.1.1)简单记为

( , ) ( , ) (1)T r T r f O

f a  



Nevanlinna 第一基本定理给出了亚纯函数

( )f z

的特征函数

( , )T r f

与

( )f z a

的特征函数

( , )T r f a

之间的关系.

定理 1.1.2 (对数导数引理)假设

( )f z

为非常数亚纯函数,并且

0,f 

,则对

于

0r R   

,有

' 1

( , ) 4 log ( , ) 3log 4log

m r T R f R

f R r

  

   



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第一章预备知识-1-第一章预备知识在值分布论的发展中,芬兰数学家R.Nevanlinna有着巨大的贡献.1925年他引进了亚纯函数的特征函数,并建立了两个基本定理,被称为Nevanlinna理论.半个多世纪以来,Nevanlinna理论不断地发展和完善,在亚纯函数的正规性方面有着广泛的应用.本章我们给出Nevanlinna基础理论中的常用记号,并叙述亚纯函数正规族理论中的一些基本概念和相关结果.§1.1Nevanlinna理论简介本节将介绍Nevanlinna理论,在本文中符号同引文[1],如果没有特别说明,所提到的亚纯函数是指开平面{:||}Czz中的亚纯函数,用{}CC表示扩充...

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