右中心拟ρRrpp半群的特征与结构

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3.0 陈辉 2024-11-20 14 4 408.83KB 29 页 15积分
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第一章 绪 论
1
第一章 绪 论
§1.1 课题背景
半群理论，作为代数学上的一个分支，发展至今已有八十年的历史．
1951 年，
Green
提出
'Green s
关系[1]．
'Green s
关系在半群理论研究中起着举足轻重的作
用．1956 年，
Miller
与
A.H.Clifford
引进正则半群，并用
'Green s
关系对正则半
群进行了研究．随后，
A.H.Clifford
研究了
Clifford
半群（简称
C
半群），即所有
幂等元都在中心内的正则半群．
C
半群是正则半群类的一个重要子类，它在正则
半群及其子类的研究中有着重要作用．
诸多学者致力于正则半群及其子类的推广工作，并得到了丰硕的成果．其中，
引进了
'Green s
*-关系，从而将正则半群类推广到了富足半群类；他还
引进了左(右)富足半群，简称
rpp
(
lpp
)半群，半群
S
是
rpp
半群当且仅当
S
的每个
*L
类至少含有一个幂等元．这时，若
,a S e 
( )E S
，
*
a eL
，则
a ae
，即
e
是
*
e
L
的右单位元[2][3]．
J.B.Fountain
对
rpp
半群及其特殊子类进行了深入研究[2][3][4]．其
中所有幂等元都在中心内的
rpp
半群(简称
C rpp
半群)是
C
半群在
rpp
半群类中
的重要推广，
C rpp
半群是左可消幺半群的强半格[3]．1992 年朱聘瑜、郭聿琦引
进左(右)
C
半群，即只要满足下列(1)、(2)条件之一的正则半群，其中(1)
aS Sa
，
a S 
(
Sa aS
，
a S 
)；(2)
eS Se
，
( )e E S 
(
Se eS
，
( )e E S 
)．并且
证明了右
C
半群是群与右零带的直积的半格[5]．为了便于研究
rpp
半群及其特殊
子类，
Pastijn
与郭聿琦根据
'Green s
*
关系定义了
( )l
'Green s
关系[6][7]．1995
年，郭聿琦、岑嘉评引进左
C rpp
半群[6]；然后文献[8]进一步对左
C rpp
半群进
行了研究．1997 年郭聿琦[7]引进了右
C rpp
半群，证明了
rpp
半群是右
C rpp
半
群当且仅当它是左消幺半群与右零带直积的半格，事实上右
C rpp
半群总是强
rpp
的．随后，岑嘉评、任学明用右△-积手段给出了右
C rpp
半群的结构[9]．
1997 年，唐向东进一步推广了
'Green s
*
关系，引进
'Green s
**
关系，从而
将
rpp
半群类推广到了
wrpp
半群类．半群
S
称为
wrpp
半群，若满足两个条件：(1)
S
的每个
** L
类至少含有一个幂等元；
(2) 若
, ( )a S e E S 
，
**
a eL
，则
a ae
．他
重点研究了
C wrpp
半群，即所有幂等元都在中心内的
wrpp
半群，证明了
C wrpp
半群是
R
左可消幺半群的强半格．
C wrpp
半群是
C rpp
半群在
wrpp
半群类里
的推广[10][11][12]．2003 年，杜兰与岑嘉评研究了左
C wrpp
半群[13]．
近年来在半群理论的研究工作中，对
'Green s
关系的推广研究方面十分活
右中心拟
Rrpp
半群的特征与结构
2
跃．其中高振林[14]在该领域用半群
S
上的偏序关系
S
R
：
S
R
a b
当且仅当
1
aS
1
bS
，
,a b
S
定义了半群上的一种新的等价关系
*( )
S
R
L
：
*
( , ) ( )
S
R
a b
L
当且仅当
1
( , )( , ) ( , )
S S
R R
x y S ax ay bx by
 
   
．
从而由
*( )
S
R
L
关系建立了半群
S
上的
*
'R
Green s
关系，进一步推广了
'Green s
**
关系．于是将
wrpp
半群类推广到了
Rrpp
半群类．半群
S
称为
Rrpp
半群，若
S
满足两个条件：(1)
S
的每个
*( )
S
R
L
类
*( )
S
a R
L
（
a S 
）至少含有一个幂等元；
(2) 若
, ( )a S e E S 
，
*( )
S
R
a e
L
，则
a ae
．
Rrpp
半群是充足的，若对
a S 
，
存在唯一幂等元
a
，使得
a
*( )
S
Ra
L
，且
a a a
．他重点研究了
R
C rpp
半群，
即所有幂等元都在中心内的
Rrpp
半群，证明了
R
C rpp
半群是
R
左可消幺半
群的强半格．
R
C
rpp
半群是
C wrpp
半群在
Rrpp
半群类里的推广，使得
C w
rpp
半群类成为其真子类．随后，文献[15]定义了左
R
C rpp
半群，证明了充足
R
rpp
半群是左
R
C rpp
半群当且仅当它是
R
左可消
stripes
的半格，其中
R
左
可消
stripe
是
R
左可消幺半群与左零带的直积．
本文将在以上工作的基础上，研究一类拟
Rrpp
半群，即所谓的右中心拟
Rrpp
半群．本文将证明强拟
Rrpp
半群是右中心拟
Rrpp
半群当且仅当它是
R
左可消右
stripes
的半格，其中
R
左可消右
stripe
是
R
左可消幺半群与右零带的
直积．并刻画右中心拟
Rrpp
半群的
R
右△
积结构，给出右中心拟
Rrpp
半群
的结构定理．
§1.2 本文的主要工作
本文分为五章，第一章为绪论，介绍本课题的背景来源，本文的主要工作，
以及本文所需的一些已有基本概念与结论．
第二章为
R
左可消右
stripe
，分为两节．第一节，在回忆 Green’s
*
R
关系
与
Rrpp
半群的相关概念与结果的基础上，补充证明了关于
R
左可消幺半群的性
质．第二节，定义了
R
左可消右
stripe
，并且证明了
R
左可消右
stripe
的一些
性质．
第三章为右中心拟
Rrpp
半群及其若干特征，从本章开始，进入本文的核心
内容．该章分为两节．第一节，引入拟
Rrpp
半群、强拟
Rrpp
半群与右中心拟
R
rpp
半群的概念，并给出了一个半群是右中心拟
Rrpp
半群的必要条件．第二节，
给出了右中心拟
Rrpp
半群的若干特征定理，特别地，证明了右中心拟
Rrpp
半群
是
R
左可消右
stripes
的半格．
第四章为考虑
R
SRLCP
半群是右中心拟
Rrpp
半群的情形．该章重点从
第一章 绪 论
3
R
SRLCP
半群的角度，进一步研究右中心拟
Rrpp
半群的其它特征，分为两
节．第一节，引入
R
左可消板与
R
SRLCP
半群的概念，指出右中心拟
Rrpp
半群类是
R
SRLCP
半群类的一个子类．第二节重点研究
R
SRLCP
半群是右
中心拟
Rrpp
半群的情形．
第五章为右中心拟
Rrpp
半群的
R
右△-积结构，分为两节．第一节，引入
R
右△-积的定义，并给出关于
R
右△-积的一些初步性质．第二节，给出右
中心拟
Rrpp
半群的
R
右△-积结构．证明了
R
C rpp
半群与右正则带构成的
R
右△-积是右中心拟
Rrpp
半群；反之，任意一个右中心拟
Rrpp
半群都与一
个
R
右△-积同构．
本文中未说明的符号、术语及半群的基本概念和知识，请参见文献[1]、[14]、
[15] ．
§1.3 基本概念与结论
下面是本文所需要的一些基本概念与结果．
以下定义 1.3.1－定义 1.3.13 引自文献[1] [16]．
定义 1.3.1 半群
S
称为带，若
2
a a
，
a S 
．
定义 1.3.2 带
B
称为右零带，若
ef f
，
,e f B 
．
定义 1.3.3 带
B
称为右正则带，若
efe fe
，
,e f B 
．
引理 1.3.4 设
B
为带，则下列等价：
(1)
B
是右正则带；
(2)
B
是右零带的半格．
定义 1.3.5 带
B
称为矩形带，若
abc ac
，
, ,a b c B 
．
引理 1.3.6 矩形带是左零带与右零带的直积．
引理 1.3.7 带是矩形带的半格．
定义 1.3.8 设
Y
是半格，
S
( )Y
 
是
S
的子半群，且满足
(1)
Y
S S
 
；
(2) 若
 
，则
S S
 
 
；
(3)
S S S
  
．
则称
S
是
S
( )Y
 
的半格．
定义 1.3.9 设
Y
是半格，对
Y
 
，
S
是幺半群，单位元是
1
．若
 
，
则
S S
 
 
．若
( , )Y
 
 
，则令
,
 
是从
S
到
S
的同态，且满足：
(1)
( )Y
 
,
 
是
S
上的恒等映射；
(2) 若
( , , )Y
 
 
 
，则
, , ,
   
 
．
摘要：

第一章绪论1第一章绪论§1.1课题背景半群理论，作为代数学上的一个分支，发展至今已有八十年的历史．1951年，Green提出'Greens关系[1]．'Greens关系在半群理论研究中起着举足轻重的作用．1956年，Miller与A.H.Clifford引进正则半群，并用'Greens关系对正则半群进行了研究．随后，A.H.Clifford研究了Clifford半群（简称C半群），即所有幂等元都在中心内的正则半群．C半群是正则半群类的一个重要子类，它在正则半群及其子类的研究中有着重要作用．诸多学者致力于正则半群及其子类的推广工作，并得到了丰硕的成果．其中，J.B.Fountain引进...

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