若干耦合非线性系统的新精确解

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3.0 高德中 2024-11-19 5 4 1.64MB 37 页 15积分

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若干耦合非线性系统的新精确解

摘要

孤立子理论作为非线性科学的一个重要组成部分, 已经吸引越来越多的学者

从事孤立子理论的纯粹基础研究和应用研究, 并且其研究的对象也不仅仅局限于

数学和物理学领域, 在生命科学, 生物化学, 大气海洋学, 水利工程设计等方面也有

更多的实际应用, 取得了一些有意义的研究成果. 如在海港码头工程设计中, 考虑

到海浪冲刷堤岸因素, 水波问题的研究结果就有着理论指导意义. 由于自然界和社

会生活大多具有非线性, 而孤立子理论的主要研究对象就是非线性系统. 因此, 如

何更深入的探求和发现更多非线性系统的内在性质就不仅仅具有重要的理论意义,

而且有更深远的实际意义.

孤立子理论的研究对象通常为单一的非线性偏微分方程, 而对于单一非线性

方程精确解的研究, 人们已经发展了多种卓有成效的研究方法 , 如对称约化,

Painlevé 分析法, 双线性形式法, 经典和非经典李群法等. 但在实际问题的研究中,

往往仅有一个非线性方程无法详尽描述非线性现象 , 就需要用耦合的非线性系统

来更好的解释复杂的现象及其固有性质和发展趋势 . 但由于耦合的非线性系统相

对于单一的非线性系统要复杂的多, 并且人们对于耦合非线性系统的认识甚少, 所

以详细深入研究非线性耦合系统的内在性质和实验现象也更困难. 因此, 对耦合非

线性系统作深入的研究和探索就显得迫在眉睫.

我们知道, 由J. Weiss 等提出的针对偏微分方程的 Painlevé 分析法是研究非线

性系统可积性的重要工具, 通过直接对偏微分方程做 Painlevé 分析, 确定其是否具

有Painlevé 可积性质, 利用标准截断展开法求得非线性系统的孤波解或者周期解等.

更进一步, 我们可以借助 Painlevé 分析法来研究非线性系统的 Lax 对, Bäcklund 变

换以及通过某些低维系统的 Painlevé 分析来构造高维可积系统等.

本论文主要工作就是利用偏微分方程的 Painlevé 分析法来研究耦合非线性系

统的 Painlevé 可积性质以及构造耦合非线性系统新的精确解. 我们主要考虑耦合的

Zakharov-Kuznetsov 方程和 Bogoyavlensky-Konoplechenko 方程的 Painlevé 可积性

质, 并借助标准和非标准截断展开法构造了它们的新孤波解等. 此外, 我们还利用

达布变换方法考虑了耦合修正的 KdV 系统的非奇异的正子解, 负子解和复子解, 研

究了这些解的详细结构和具体性质.

关键词：耦合非线性系统孤立子精确解

ABSTRACT

Soliton theory, as an important part of the nonlinear science, has attracted a

growing number of scholars interested both in pure or application field research. It

relates not only to many areas of mathematics but also to physics, life sciences,

biochemistry, oceanography, atmospheric, etc. There also are a lot of interesting results

in the soliton theory. Since most of nature and social life with non-linear, the nonlinear

systems are the main objects of the soliton theory, so how to find more inner nature of

the nonlinear systems are both of theoretical significance and greater practical value.

People have developed many kinds of research methods for single nonlinear partial

differential equations, which are main objects of the soliton theory, such as symmetry

reduction, bilinear form method, classical Lie group method, and so on. However, in the

study of practical problems, it always needs some coupled nonlinear systems to exactly

explain the complex phenomena, its inherent nature and development trends. But the

coupled nonlinear systems often are very complex and we know less about it, so it is

much more difficult to study the instinct properties and experimental phenomena about

them deeply. Therefore, study and exploration in-depth for coupled nonlinear systems

become increasingly imminent.

It is well known that Painlevé analysis method, proposed by J. Weiss et al for

nonlinear partial differential equation, is an important tool to study the integrability of

the nonlinear systems. We can determine a partial differential equation Painlevé

integrable by the means of painlevé analysis directly, and get soliton solutions or

periodic solutions through standard or nonstandard truncated expansion. Also, the Lax

pair, Bäcklund transformation and new integrable high dismensional systems may be

obtained from Painlevé analysis.

The main work of this thesis is to study Painlevé integrability of the coupled

Zakharov-Kuznetsov equation and the Bogoyavlensky-Konoplechenko equation

through Painlevé analysis and construct new exact solutions for the above systems by

the standard and nonstandard truncated expansions. In addition, we also will use

Darboux transformation to study the nonsingular positon, negaton and complexiton

solutions of the coupled modified KdV system and learn the detailed properties for

these solutions.

Key word: Coupled nonlinear system, Soliton, Exact solution

中文摘要

ABSTRACT

第一章绪论......................................................1

§1.1 孤立子理论的发展史........................................1

§1.2 非线性偏微分方程的解法综述................................2

§1.3 孤立子理论的意义..........................................5

§1.4 本文研究目的和主要内容....................................5

第二章 Painlevé 可积性的发展历程...................................7

§2.1 常微分方程 Painlevé 性质介绍................................7

§2.2 常微分方程 Painlevé 性质的检测..............................8

§2.3 偏微分方程 Painlevé 性质....................................8

§2.4 偏微分方程 Painlevé 性质的检测..............................9

§2.5 研究概况.................................................11

第三章若干耦合方程组的 Painlevé 可积性及其新解....................15

§3.1 耦合 Zakharov-Kuznestov 方程的 Painlevé 可积性................15

§3.2 耦合 Zakharov-Kuznestov 方程的新解.........................16

§3.3 Bogoyavlensky Konoplechenko 方程的 Painlevé 可积性...........20

§3.4 Bogoyavlensky Konoplechenko 方程的新解.....................21

第四章耦合 mKdV 系统的非奇异正子解、负子解、复子解.............24

§4.1 内容的提出...............................................24

§4.2 正子解、负子解、复子解...................................25

§4.1.1 正子解...............................................27

§4.1.2 负子解...............................................28

§4.1.3 复子解...............................................29

第五章结论与讨论................................................32

参考文献.........................................................33

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摘要：

若干耦合非线性系统的新精确解摘要孤立子理论作为非线性科学的一个重要组成部分,已经吸引越来越多的学者从事孤立子理论的纯粹基础研究和应用研究,并且其研究的对象也不仅仅局限于数学和物理学领域,在生命科学,生物化学,大气海洋学,水利工程设计等方面也有更多的实际应用,取得了一些有意义的研究成果.如在海港码头工程设计中,考虑到海浪冲刷堤岸因素,水波问题的研究结果就有着理论指导意义.由于自然界和社会生活大多具有非线性,而孤立子理论的主要研究对象就是非线性系统.因此,如何更深入的探求和发现更多非线性系统的内在性质就不仅仅具有重要的理论意义,而且有更深远的实际意义.孤立子理论的研究对象通常为单一的非线性偏微分方...

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