切换系统的稳定性

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第一章绪论

切换系统的稳定性

摘要

切换系统是一个由一系列的连续或离散的子系统以及协调这些子系统的切换

规则组成的混合系统。作为混杂系统的一种重要类型，切换系统在机械控制系统

工业自动化、机场交通控制等很多领域都有广泛的应用。。稳定性是保证系统正常

运行的重要前提，因而研究切换系统的重要的工作之一就是如何有效地判断切换系

统的稳定性。对于任意的切换信号，系统的渐进稳定性可由系统族是否存在共同

Lyapunov函数来判定，因此如何寻找共同Lyapunov函数成为了切换系统的研究重点

雅克比（Jacobian）矩阵法是判断非线性系统稳定的常用方法之一，其基本思

想是将一类非线性系统线性化，进而通过线性系统来研究其稳定性。本文将这一方

法推广到非线性切换系统中，使得非线性系统族的稳定性及共同Lyapunov函数都可

以通过线性系统族来判断和求得。

考虑线性系统族存在共同二次Lyapunov函数的问题.对于线性时不变系统族，

考虑其系统矩阵是三对角矩阵，证明了共同二次Lyapunov函数的存在性，进一步给

出了算法，并且给出实例来说明以上这些结果。

关键词: 切换系统共同二次Lyapunov函数三对角矩阵雅克比矩阵法

切换系统的稳定性

ABSTRACT

Swithed systems are composed of a series of continuous or discrete subsystems and

c e r t a i n s w i t c h i n g s e q u e n c e s. A s a t y p e o f h y b r i d s y s t e m s , s w i t c h e d s y s t e m s h a v e

numerous applications in control mechanical systems, the automotive industry, aircraft

traffic control, and many other fields. For problems in stability of switched systems, the

f i r s t b a s i c p r o b l e m i s t o f i n d c o n d i t i o n s t h a t g u a r a n t e e t h a t t h e s w i t c h e d s y s t e m i s

asymptotically stable for any switched signal. The fact that the family of systems has a

common Lyapunov function can guarantee that the switched system is asymptotically

stable, so it is important to find a common Lyapunov function.

Jacobi matrix method is one of the most important methods in deciding the stability

of nonlinear systems. The basic idea is to linearize a class of nonlinear system, and then

t h r o u g h t h e l i n e a r s y s t e m t o s t u d y i t s s t a b i l i t y . T h i s m e t h o d c a n b e e x t e n d e d t o

n o n l i n e a r s w i t c h e d s y s t e m s , t h u s t h e s t a b i l i t y o f n o n l i n e a r s w i t ched systems and t h e

c o m m o n L y a p u n o v f u n c t i o n s c a n b e d e c i d e d a n d s o l v e d t h r o u g h l i n e a r s w i t c h e d

systems.

W e c o n s i d e r t h e e x i s t e n c e o f c o m m o n q u a d r a t i c L y a p u n o v f u n c t i o n s f o r l i n e a r

c o n t r o l s y s t e m s . F o r s t a b l e L T I s y s t e m s w h o s e s y s t e m m a t r i c e s a r e

tridiagonal form, it is proved that there exist common quadratic Lyapunov functions.

Then, two algorithms of computing a common Lyapunov function are given. Finally, a

example is presented to illustrate the results.

K e y w o r d s : s w i t c h e d s y s t e m s，co m m o n qu a d r a t i c L y a p u n o v

functions，Jacobi matrix method，tridiagonal matrices

中文摘要

ABSTRACT

第一章绪论....................................................................................................................1

§1.1 混杂系统概述................................................................................................................1

第一章 绪论
§1.1.1 混杂系统的概念及发展.........................................................................1
§1.1.2 混杂系统稳定性的研究现状.................................................................1
§1.2 切换系统概述................................................................................................................4
§1.2.1 切换系统的概念.....................................................................................4
§1.2.2 切换系统稳定性的研究现状.................................................................5
§1.3 研究内容、关键技术和意义.....................................................................................6
第二章 基本知识............................................................................................................7
§2.1 相关数学知识................................................................................................................7
§2.2 稳定性的几个定义.......................................................................................................9
§2.3 线性切换系统稳定性的判定方法..........................................................................11
§2.4 本章小结.......................................................................................................................13
第三章 三对角矩阵的共同Lyapunov函数的计算......................................................15
§3.1 引言................................................................................................................................15
§3.2 预备知识.......................................................................................................................15
§3.3 算法及相关定理.........................................................................................................16
§3.4 实例分析.......................................................................................................................21
§3.5 本章小结.......................................................................................................................24
第四章 雅克比矩阵法在非线性切换系统中的应用..................................................25
§4.1 引言................................................................................................................................25
§4.2 预备知识.......................................................................................................................25
§4.2.1 非线性时不变切换系统的线性化.......................................................25
§4.2.2 非线性时变切换系统的线性化...........................................................26
§4.3 雅克比矩阵法..............................................................................................................31
§4.4 实例分析.......................................................................................................................30
§4.5 本章小结.......................................................................................................................32
第五章 结论与展望....................................................................................................33
§5.1 结束语...........................................................................................................................33
§5.2 未来工作设想..............................................................................................................33
参考文献........................................................................................................................35
2

切换系统的稳定性

第一章绪论

§1.1 混杂系统概述

§1.1.1 混杂系统的概念及发展

混杂系统是指连续变量动态系统(continuous variable dynamic systems,CVDS)

和离散事件系统(discreteeventdynamicsystems,DEDS)相互混杂，相互作用而形成的

动态系统；它是一种离散构件和连续构件融合在一起的反应系统，其特点是既随时

间而连续变化，又受离散突发事件的驱动。关于混杂系统的实例有很多，比如并行

程序的验证，计算机辅助制造(CAM)及航空飞行器就是一类典型的混杂系统，它们

是由数字设备和模拟设备相互作用形成的一种网络；大多数物理系统(如复杂工业

控制系统、制造系统、电力系统等)都是连续和离散共存的混杂系统，尤其是制造

系统已成为混杂系统的一个重要代表。近几年涌现出众多的制造模式（如即时生产

精益生产等）都是层次化的混杂系统，其中包含了复杂的离散和连续的过程。

混杂系统的发展有三十多年的历史了。1966年Witsenhausen最早提出了混杂系

统的模型。1986年在美国召开的高级控制会议首次提出了混杂系统的概念。

1991年在法国召开了关于混杂系统的国际会议。1992年在丹麦召开了计算机科学

问题中的混杂系统理论专题研讨会。1993年第一部关于混杂系统理论的专辑

《Hybrid System I》出版，收录了在1991年和1993年举行的两次混杂系统研讨会

上的优秀论文。之后出版的《Hybrid System II－V》，《Hybrid Systems:

Computation and Control(HSCC)》更是汇集了混杂系统领域具有代表性的研究

成果。1995年国际刊物《Theoretical Computer Science》为混杂系统出版了专辑

[21~25]，混杂系统理论的研究至此步入正轨。

§1.1.2 混杂系统稳定性的研究现状

混杂系统的分析涉及其稳定性、可达性、可行性、能观性、能控性、鲁棒性

及故障诊断等方面的研究，其中最重要的特性就是稳定性，因为它关系到整个系统

能否正常工作，它同系统的能控性及能观测性一样，也是系统的一种结构性质。

稳定性概念的出现有悠久的历史了，早在1 7世纪就出现过托里斯利

（Torricelli）原理，即物体仅受重力作用，当重心位置最低时其平衡是稳定的。稳

定性研究，其目标就是不通过实际计算出系统轨迹的解便可以得出有关系统状态的

行为的结论。对于混杂系统稳定性的研究主要的方法是Lyapunov函数方法。在

Lyapunov函数理论中，存在两种不同的研究方向：一种是利用直接Lyapunov诺夫函

数，另一种是对Lyapunov意义上的稳定性定义重新进行数学描述，进而证明混杂系

统的稳定性。除了从理论上分析混杂系统的稳定外，利用计算机进行仿真验证也是

分析混杂系统稳定性的一种有效方法，并实现了将计算机控制领域与控制问题的有

机结合。

混杂系统是一种非常复杂的非线性系统，系统的动态行为同时包含了离散动

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摘要：

第一章绪论切换系统的稳定性摘要切换系统是一个由一系列的连续或离散的子系统以及协调这些子系统的切换规则组成的混合系统。作为混杂系统的一种重要类型，切换系统在机械控制系统工业自动化、机场交通控制等很多领域都有广泛的应用。。稳定性是保证系统正常运行的重要前提，因而研究切换系统的重要的工作之一就是如何有效地判断切换系统的稳定性。对于任意的切换信号，系统的渐进稳定性可由系统族是否存在共同Lyapunov函数来判定，因此如何寻找共同Lyapunov函数成为了切换系统的研究重点雅克比（Jacobian）矩阵法是判断非线性系统稳定的常用方法之一，其基本思想是将一类非线性系统线性化，进而通过线性系统来研究其稳定...

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